Ряд 1 n сходится или расходится

Необходимый признак сходимости числового ряда

Если сходится, то

Следствие. Если , то расходится.

Достаточные признаки сходимости знакоположительных рядов

Первый признак сравнения

1) из сходимости ряда ⇒ сходимость ряда

2) из расходимости ряда ⇒ расходимость ряда

Второй признак сравнения

1) при 0 ⇒ сходимость

3) при с = ∞ из расходимости ⇒ расходимость

р 1, ряд расходится;

p = 1, признак не работает

Радикальный признак Коши

Интегральный признак Коши

Пусть ƒ(х) — положительная, непрерывная и убывающая функция на [1,∞), такая, что а₁ = ƒ(1), а₂ = f(2), . a_n= ƒ(n), .

Если соответствующий несобственный интеграл сходится (расходится), то и ряд сходится (расходится)

Рекомендации к использованию признаков сравнения

Рекомендации к использованию признака Даламбера

Признак целесообразно применять, когда общий член содержит n!(n! = 1 · 2 · 3 · 4 · . · n — n-факториал). При n→∞ для приближенного вычисления n! используется формула Стирлинга:

Сходимость знакопеременных рядов

Знакопеременный ряд сходится абсолютно, если ряд составленный из абсолютных величин, сходится

Знакопеременный ряд сходится условно, если сам он сходится, а ряд расходится

Достаточный признак сходимости для знакочередующегося ряда

Теорема (признак Лейбница). Знакочередующийся ряд сходится, если:

1) последовательность абсолютных величин членов ряда монотонно убывает, т.е. ∀n: а_n ≥ a_n+1;

2)

Проверить сходимость ряда можно несколькими способами. Во-первых можно просто найти сумму ряда. Если в результате мы получим конечное число, то такой ряд сходится. Например, поскольку

то ряд сходится. Если нам не удалось найти сумму ряда, то следует использовать другие методы для проверки сходимости ряда.

Одним из таких методов является признак Даламбера, который записывается следующим образом:

здесь и соответственно n-ый и (n+1)-й члены ряда, а сходимость определяется значением D: Если D 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью признака Даламбера. Сначала запишем выражения для и . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку , в соответствии с признаком Даламбера, ряд сходится.

Еще одним методом, позволяющим проверить сходимость ряда является радикальный признак Коши, который записывается следующим образом:

здесь n-ый член ряда, а сходимость, как и в случае признака Даламбера, определяется значением D: Если D 1 — расходится. При D = 1 — данный признак не даёт ответа и нужно проводить дополнительные исследования.

В качестве примера, исследуем сходимость ряда с помощью радикального признака Коши. Сначала запишем выражение для . Теперь найдем соответствующий предел:

Поскольку 1′ title=’15625/64>1′ /> , в соответствии с радикальным признаком Коши, ряд расходится.

Стоит отметить, что наряду с перечисленными, существуют и другие признаки сходимости рядов, такие как интегральный признак Коши, признак Раабе и др.

Наш онлайн калькулятор, построенный на основе системы Wolfram Alpha позволяет протестировать сходимость ряда. При этом, если калькулятор в качестве суммы ряда выдает конкретное число, то ряд сходится. В противном случае, необходимо обращать внимание на пункт «Тест сходимости ряда». Если там присутствует словосочетание «series converges», то ряд сходится. Если присутствует словосочетание «series diverges», то ряд расходится.

Ниже представлен перевод всех возможных значений пункта «Тест сходимости ряда»:

Формула

Пусть задан положительный числовой ряд $ sum_ ^infty a_n $. Сформулируем необходимый признак сходимости ряда:

1. Если ряд сходится, то предел его общего члена равен нулю: $$ lim _ a_n = 0 $$
2. Если предел общего члена ряда не равен нулю, то ряд расходится: $$ lim _ a_n
   eq 0 $$

Часто проблемой почему наши заказчики не могут исследовать ряд самостоятельно является момент непонимания сути необходимого признака.

Ещё раз отметим, что если общий член ряда стремится к нулю $ a_n o 0 $, то это ещё не значит, что ряд сходится! Нужно применить в дополнение достаточный признак.

Данный признак применяется сам по себе только в случаях, когда нужно доказать расходимость ряда.

Обобщенный гармонический ряд

Данный ряд записывается следующим образом $ sum_ ^infty frac<1> $. Причем в зависимости от $ p $ ряд сходится или расходится:

1. Если $ p = 1 $, то ряд $ sum_ ^infty frac<1>$ расходится и называется гармоническим, несмотря на то, что общий член $ a_n = frac<1> o 0 $. Почему так? В замечании говорилось, что необходимый признак не даёт ответа о сходимости, а только о расходимости ряда. Поэтому, если применить достаточный признак, такой как интегральный признак Коши, то станет ясно, что ряд расходится!
2. Если $ p leqslant 1 $, то ряд расходится. Пример,$ sum_ ^infty frac<1><sqrt> $, в котором $ p = frac<1><2>$
3. Если $ p > 1 $, то ряд сходится. Пример, $ sum_ ^infty frac<1><sqrt> $, в котором $ p = frac<3><2>> 1 $

Примеры решений

Ряд положительный, записываем общий член:

Вычисляем предел при $ n o infty $:

Выносим за скобку $ n $ в знаменателе, а затем выполняем на него сокращение:

Так как получили, что $ lim_ a_n = frac<1> <6>
eq 0 $, то необходимый признак Коши не выполнен и ряд следовательно расходится.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Первым делом выпишем общий член ряда и проверим выполнение необходимого признака сходимости числового положительного ряда:

Выносим старшие степени $ n $ в числителе и знаменателе, а затем сокращаем на $ n^2 $:

Так как $ lim_ a_n = infty
eq 0 $, то необходимый признак сходимости говорит о расходимости ряда.