391. Ряд Маклорена для функции у = sin х имеет вид
•
392. Ряд Маклорена для функции у = е -2х имеет вид
•
393. Ряд Маклорена для функции у = е -3х имеет вид
•
394. Ряд Маклорена для функции у = е -3х сходится:
• на всей числовой прямой
395. Ряд Маклорена для функции у = е -х имеет вид
• 1 —
396. Ряд Маклорена для функции у = е 2х имеет вид
•
397. Ряд Маклорена для функции у = е 3х сходится:
• на всей числовой прямой
398. Ряд Маклорена для функции у = е х имеет вид
•
399. Ряд Маклорена функции у = cos 3x сходится:
• на всей числовой оси
400. Ряд Фурье функции f (x) = -4х (-2
Ряд Тейлора — разложение функции в бесконечную сумму степенных функций.
Ряд Тейлора применяют для апроксимации функции многочленами. То есть, линеаризация уравнений проходит путем разложения в ряд Тейлора и отсечения каждого члена старше 1-го порядка.
Определение ряда Тейлора.
Функция f(x) бесконечно дифференцируется в некоторой окрестности т.a:
Этот ряд называется рядом Тейлора функции f в т.a.
Т.е., рядом Тейлора функции f(x) в окрестности точки a является степенной ряд относительно двучлена x — a типа:
Свойства ряда Тейлора.
Если f есть аналитическая функция во всякой точке a, то ряд Тейлора этой функции во всякой точке a области определения f сходится к f в некоторой окрестности a.
Есть бесконечно дифференцируемые функции, ряд Тейлора которых сходится, однако, при этом отличается от функции во всякой окрестности a. Вариант, предложенный Коши:
У этой функции каждые производные в 0 равны нулю, поэтому коэффициенты ряда Тейлора в точке a=0 равны 0.
Если у функция f(x) есть непрерывные производные вплоть до (n+1)-го порядка, то эту функцию можно разложить в степенной ряд по формуле Тейлора:
где Rn − остаточный член в форме Лагранжа определяют так:
Если это разложение сходится в некотором интервале x, т.е. , значит, оно является рядом Тейлора, который представляет разложение функции f (x) в т.a.
Если a = 0, значит, это разложение является рядом Маклорена:
Ряды Маклорена некоторых функций.
1. Экспонента: ,
1. y = e x .
Имеем f(x) = f'(x) = f»(x) =…= f (n) (x) = e x ;
e x = 1 + х + .
Область сходимости ряда (-∞; ∞).
2. y = sin x.
Очевидно, что производные чётного порядка f (2n) (0) = 0, а нечётного порядка f (2n-1) (0) = (-1) n -1 , i = 1, 2… . По формуле
sin x = x — .
Область сходимости ряда (-∞; ∞).
3. y = cos x.
Рассматривая аналогично, получим
сos x = 1 — .
Область сходимости ряда (-∞; ∞).
4. y = (1+x) m , где m — любое действительное число.
(1+x) m = 1 + mx + .
Интервала сходимости ряда (-1; 1).
Ряд называется биномиальным. Если m — целое положительное число, то биномиальный ряд представляет формулу бинома Ньютона, так как при n = m+1 m-n+1 = 0, n-й член ряда и все последующие равны нулю, т.е. ряд обрывается, и вместо бесконечного разложения получается конечная сумма.
Рассмотрим геометрический ряд
= 1 — x + x 2 — x 3 +…+(-1) n x n +…
со знаменателем q = —х, который сходится при | q | = | —x |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Для студентов недели бывают четные, нечетные и зачетные. 9622 — | 7515 — или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно