Запишем общий член ряда: $ a_n = frac<(n+1)!> <(n+2)5^n>$
Выведем следующий член ряда с помощью подстановки $ n=n+1 $: $$ a_ = frac<(n+2)!><(n+3)5^> $$
Запишем отношение предыдущего члена к следующему:
Найдем предел полученного выражения и сделаем вывод о сходимости:
Так как получается неопределенность, то вынесем за скобки $ n $:
После сокращения числителя и знаменателя на $ n $ имеем:
Так как $ L = infty $, то по признаку Даламбера ряд расходится.
Теоретические основы
Признак признак Даламбера, как и признак сравнения, радикальный признак Коши и интегральный признак Коши, является достаточным признаком сходимости рядов, так как исследование ряда с помощью этого признака даёт однозначный ответ на вопрос о том, сходится ряд или расходится. Признак Даламбера предполагает найти предел отношения некоторого ряда к предыдущему члену того же ряда. Признак Даламбера, скорее всего, работает, если в выражение ряда входят:
- число в степени,
- факториал,
- цепочки множителей один-три-пять-семь и так далее.
Основной фигурант признака Даламбера — дробь, в числителе которой некоторый член ряда, а в знаменателе — предыдущий член того же ряда. Вычисляется предел этого отношения. Впрочем, перейдём к научной форме изложения рассматриваемого признака.
Теорема. Пусть для ряда с положительными членами при 
существует предел отношения (n+1)-го члена к предыдущему ему n-му члену, то есть
- а) если предел отношения меньше единицы (
), то ряд сходится;
- б) если предел отношения больше единицы (
), то ряд расходится;
- в) если предел отношения равен единице (
), то вопрос о сходимости ряда остаётся нерешённым.
Решаем примеры
Пример 1. Исследовать сходимость ряда с общим членом 
Решение. Найдём отношение
Так как 
, а 
, то
Пример 2. Исследовать сходимость ряда
Решение. Общий член данного ряда
а следующий за ним член
Находим их отношение:
Пример 3. Исследовать сходимость ряда с общим членом
Используя признак Даламбера, получаем
Таким образом, получилась неопределённость вида ∞/∞. Раскроем её с помощью правила Лопиталя:
Поскольку l = 1, о сходимости ряда ничего определённого сказать нельзя. Необходимо дополнительное исследование. Сравним данный ряд с гармоническим. Так как при n > 1 получается ln (n + 1) 1/(n + 1), т.е. члены данного ряда, начиная со второго, больше соответствующих членов расходящегося гармонического ряда, а поэтому данный ряд также расходится.
Пример 4. Исследовать сходимость ряда с общим членом 
Решение. Так как
Признак Даламбера не решает вопроса о сходимости. Продолжим исследование. Поскольку n
Пример 5. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения больше единицы, поэтому о сходимости не может быть и речи.
Пример 6. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Получили значение меньше единицы и, значит, установили сходимость.
Пример 7. Исследовать сходимость ряда
Решение. Запишем n-й член ряда:
Решение. Запишем n+1-й член ряда:
Находим предел их отношения:
Предел отношения членов рядов меньше единицы, поэтому констатируем сходимость.
Администратор
Роман
Tel. +380685083397
[email protected]
skype, facebook:
roman.yukhym
Загрузка...
