Синус угла между вектором и плоскостью

Содержание

1 Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения
2 Формула вычисления угла между прямой и плоскостью
3 Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью
4 Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

С помощью этого онлайн калькулятора можно найти угол между прямой и плоскостью. Дается подробное решение с пояснениями. Для вычисления угла между прямой и плоскостью введите элементы уравнения и плоскости в ячейки и нажимайте на кнопку "Решить". Теоретическую часть смотрите ниже.

Предупреждение

Инструкция ввода данных. Числа вводятся в виде целых чисел (примеры: 487, 5, -7623 и т.д.), десятичных чисел (напр. 67., 102.54 и т.д.) или дробей. Дробь нужно набирать в виде a/b, где a и b (b>0) целые или десятичные числа. Примеры 45/5, 6.6/76.4, -7/6.7 и т.д.

Угол между прямой и плоскостью − теория, примеры и решения

В данной статье мы рассмотрим задачу определения угла φ между прямой L, заданной каноническим уравнением

(1)

и плоскостью P, заданной общим уравнением

Ax+By+Cz+D=0.

(2)

где q=(m, l, p) направляющий вектор прямой L, а n=(A, B, C) нормальный вектор плоскости P.

Нормальный вектор плоскости n и направляющий вектор прямой q могут составить острый угол, прямой угол и тупой угол.

Вариант 1. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q острый (Рис.1):ψ Вариант 2. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q:ψ=90°. Тогда имеем:

φ=0.

0=cosψ=sinφ.

Вариант 3. Угол ψ между нормальным вектором плоскости n и направляющим вектором прямой q тупой (Рис.2):ψ>90°.

cosψ=cos(90+φ)=−sinφ.

(4)

Поскольку угол φ между прямой и плоскостью всегда меньше или равно 90°, то

sinφ=⃒ cosψ ⃒

(5)

Из определения скалярного произведения векторов имеем:

(6)

Из уравнений (5) и (6) можно найти синус угла φ

(7)

(8)

Из формулы (8) можно найти угол между прямой L и плоскостью P.

Пример 1. Найти угол между прямой L:

(9)

(10)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(1, 3, 2). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(2, 6, 1).

Поскольку угол φ между прямой L и плоскостью P является дополнительным к углу ψ между направляющим вектором прямой q=(m,p,l) и нормальным вектором плоскости n=(A,B,C), то cosψ=sinφ. Из определения скалярного произведения (q,n)=|q||n|cosψ. Тогда для угла между прямой L и плоскостью P получим следующую формулу:

(11)

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (11), получим:

Упростим и решим:

Пример 2. Найти угол между прямой L:

(12)

(13)

Направляющий вектор прямой L имеет вид q=(m, p, l)=(4, 1, 3). Нормальный вектор плоскости P имеет вид n=(A, B, C)=(8, 2, 6).

(14)

Подставляя значения A, B, C, m, p, l в (14), получим:

Упростим и решим:

Замечание. Мы могли бы избежать вышеизложенных вычислений, если заметили, что векторы n и q коллинеарны. Действительно:

2·(4, 1, 3)=(8, 2, 6).

В этом случае прямая L и плоскость P перпендикулярны, т. е. угол между ними равен 90°.

Нахождение угла между прямой и плоскостью.

Давайте повторим определение угла между прямой и плоскостью.

Определение. Углом между прямой и плоскостью, пересекающей эту прямую и не перпендикулярной к ней, называется угол между прямой и ее проекцией на плоскость.

Пусть даны плоскость γ и прямая a, которая пересекает эту плоскость и не перпендикулярна к ней.

Построим угол между прямой a и плоскостью γ:

Из любой удобной для нас точки прямой a опустим перпендикуляр к плоскости γ;
Через точки оснований наклонной и перпендикуляра проведем прямую b . Прямая b — проекция прямой a на плоскость γ;
Острый угол между прямыми a и b – это угол между прямой a и плоскостью γ, т.е. ∠(a;b)= ∠(a;γ) , где ∠(a;b) — угол между прямыми а и b; ∠(a;γ) — угол между прямой а и плоскостью γ.

Для решения задач с помощью метода координат нам необходимо вспомнить следующее:

Направляющим вектором прямойa называется ненулевой вектор , который лежит либо на прямой a, либо на прямой , параллельной a;
Вектор нормали – это ненулевой вектор , перпендикулярный плоскости γ. Прямая s, на которой лежит вектор нормали, перпендикулярна плоскости γ;

3. Если известны координаты направляющего вектора < a₁; b₁; c₁> и вектора нормали
, то угол между прямой а и плоскостью γ вычисляется по формуле, которую сейчас выведем.

Нам известна формула нахождения угла между прямыми:

; (1)
∠(s; a) = 90°-∠(a;b), тогда cos∠(s;a)=cos (90°-∠(a;b))=sin ∠(a;b) ; (2)
Из (1) и (2) => ; (3)
, где – угол между векторами m и n; (4)
Подставляем (4) в (3) и т.к. ∠(a;b)= ∠(a;γ), то получаем:

4. Если координаты вектора нормали неизвестны, то нам необходимо знать уравнение плоскости.

Любая плоскость в прямоугольной системе координат может быть задана уравнением

где хотя бы один из коэффициентов a, b, c отличен от нуля. Эти коэффициенты и будут координатами вектора нормали, т.е. .

Алгоритм решения задач на нахождение угла между прямой и плоскостью с помощью метода координат:

Делаем рисунок, на котором отмечаем прямую и плоскость;
Вводим прямоугольную систему координат ;
Находим координаты направляющего вектора по координатам его начала и конца ;
Находим координаты вектора нормали к плоскости;
Подставляем полученные данные в формулу синуса угла между прямой и плоскостью;
Находим значение самого угла.

Рассмотрим задачу:
1. В кубе ABCDA₁B₁C₁D₁ найдите тангенс угла между прямой AC₁ и плоскостью BDD₁ .
Решение:

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке D.
2. Найдем координаты направляющего вектора АС₁. Для этого сначала определим координаты точек А и С₁:
А(0; 1; 0);
С₁(1; 0; 1).
<1; -1; 1>.
3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости BB₁D₁. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости:
D(0; 0; 0);
D₁(0; 0; 1);
В(1; 1; 0);
Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:
D: a⋅0+b⋅0+c⋅0+d=0;
D₁: a⋅0+b⋅0+c⋅1+d=0;
B: a⋅1+b⋅1+c⋅0+d=0.
Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение: a⋅x+(-a)⋅y+0⋅z+0 = 0;
a⋅x-a⋅y = 0; |:a
x-y = 0.
Т.о., вектор нормали к плоскости BDD₁ имеет координаты:
<1;-1; 0>.
4. Найдем синус между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

5. Воспользуемся основным тригонометрическим тождеством и найдем косинус угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

6. Найдем тангенс угла между прямой АС₁ и плоскостью BDD₁:

;

Ответ: .

2. В правильной четырехугольной пирамиде SABCD, все ребра которой равны 1, найдите синус угла между прямой BD и плоскостью SBC.

1. Введем прямоугольную систему координат с началом координат в точке B.
2. Найдем координаты направляющего вектора BD . Для этого сначала определим координаты точек B и D:

3. Найдем координаты вектора нормали к плоскости SBC. Для этого найдем координаты трех точек плоскости, не лежащих на одной прямой, и составим уравнение плоскости SBC:

Как получили координаты точки S ?

Из точки S опустили перпендикуляр к плоскости основания ABC. Точку пересечения обозначили О. Точка О — проекция точки S на плоскость ABC. Ее координаты по осям х и у будут первыми двумя координатами точки S.

Читайте также Распиновка шнура айфон 5

Узнав значение высоты пирамиды, мы нашли третью координату точки S (по оси z)

Треугольник SOB — прямоугольный, следовательно, по теореме Пифагора:

Уравнение плоскости имеет вид ax+by+cz+d=0. Подставим в это уравнение координаты точек:

Получили систему из трех уравнений:

Подставим в уравнение:

Т.о., вектор нормали к плоскости SBD имеет координаты:

.
4. Найдем синус между прямой BD и плоскостью SBD:

Ответ: .

Автор: Аникина Марина

Комментарии к этой заметке:

Добавить Ваш комментарий

Подпишитесь на рассылку и получайте ссылки на свежие уроки, статьи и новости

Хотите внести свою лепту в его развитие!? Тогда Вам сюда!

Формула вычисления угла между прямой и плоскостью

Если в пространстве заданы направляющий вектор прямой L

и уравнение плоскости

A x + B y + C z + D = 0,

то угол между этой прямой и плоскостью можно найти используя формулу

sin φ =	\| A · l + B · m + C · n \|
√ A 2 + B 2 + C 2 · √ l 2 + m 2 + n 2

Вывод формулы для вычисления угла между прямой и плоскостью

Из уравнения прямой можно найти направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости вектор нормали плоскости имеет вид

Из формул скалярного произведения векторов найдем косинус угла между нормалью к плоскости и направляющим вектором прямой

cos ψ =	\| q · s \|
\| s \| · \| q \|

Так как φ = 90° — ψ , то синус угла между прямой и плоскостью sin φ = cos ψ .

Расписав скалярное произведение векторов и модуль векторов через их координаты, получим формулу для вычисления угла между прямой и плоскостью.

Пример вычисления угла между прямой и плоскостью

Найти угол между прямой

x — 4	=	y + 2	= —	z — 6
2	6	3

и плоскостью x — 2 y + 3 z + 4 = 0.

Из уравнения прямой найдем направляющий вектор прямой

Из уравнения плоскости найдем вектор нормали плоскости

Воспользовавшись формулой, найдем угол между прямой и плоскостью

sin φ =	\| 2 · 1 + 6 · (-2) + (-3) · 3 \|	=
√ 2 2 + 6 2 + (-3) 2 · √ 1 2 + (-2) 2 + 3 2

= | 2 — 12 — 9 | √ 4 + 36 + 9 · √ 1 + 4 + 9 = |-19| √ 49 · √ 14 = 19 7√ 14

Ответ: sin φ = 19 7√ 14 .

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.