Синус в пятой степени

‘);> //–>
Синус (sin) – это тригонометрическая функция, геометрически представляющая отношение противолежащего катета к гипотенузе в прямоугольном треугольнике.

sin 5 (x)=(sin(x)) 5

Значение синуса находится в диапазоне от -1 до +1.

Быстро выполнить эту простейшую математическую операцию можно с помощью нашей онлайн программы. Для этого необходимо в соответствующее поле ввести исходное значение и нажать кнопку.

На этой странице представлен самый простой онлайн калькулятор вычисления синуса в пятой степени (синуса в 5 степени). С помощью этого калькулятора вы в один клик сможете вычислить синус 5 степени любого угла.

Тригонометрические формулы обладают рядом свойств, одно из которых это применение формул понижения степени. Они способствуют упрощению выражений при помощи уменьшения степени.

Формулы понижения работают по принципу выражения степени синуса и косинуса через синус и косинус первой степени, но кратного угла. При упрощении формула становится удобной для вычислений, причем повышается кратность угла от α до n α .

Формулы понижения степени, их доказательство

Ниже приводится таблица формул понижения степени со 2 по 4 для sin и cos угла. После ознакомления с ними зададим общую формулу для всех степеней.

sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 sin 3 = 3 · sin α – sin 3 α 4 sin 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Данные формулы предназначены для понижения степени.

Существует формулы двойного угла у косинуса и синуса, из которых и следуют формулы понижения степени cos 2 α = 1 – 2 · sin 2 α и cos 2 α = 2 · cos 2 α – 1 . Равенства разрешаются относительно квадрата синуса и косинуса, которые предоставляются как sin 2 α = 1 – cos 2 α 2 и cos 2 α = 1 + cos 2 α 2 .

Читайте также  Сколько ядер в процессоре intel core i5

Формулы понижения степеней тригонометрических функций перекликаются с формулами синуса и косинуса половинного угла.

Имеет место применение формулы тройного угла sin 3 α = 3 · sin α – 4 · sin 3 α и cos 3 α = – 3 · cos α + 4 · cos 3 α .

Если решать равенство относительно синуса и косинуса в кубе, получим формулы понижения степеней для синуса и косинуса:

sin 3 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 3 α = 3 · cos α + cos 3 α 4 .

Формулы четвертой степени тригонометрических функций выглядят так: sin 4 α = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 и cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 .

Чтобы понизить степени эти выражений, можно действовать в 2 этапа, то есть дважды понижать, тогда это выглядит таким образом:

sin 4 α = ( sin 2 α ) 2 = ( 1 – cos 2 α 2 ) 2 = 1 – 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = 1 – 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 – 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 ; cos 4 α = ( cos 2 α ) 2 = ( 1 + cos 2 α 2 ) 2 = 1 + 2 · cos 2 α + cos 2 2 α 4 = = = 1 + 2 · cos 2 α + 1 + cos 4 α 2 4 = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8

Методом подстановки мы упростили сложное выражение. Для того, чтобы записать общий вид формул понижения степени разделим их на с наличием четных и нечетных показателей. Четные показатели, где n = 2 , 4 , 6 … , выражение имеет вид sin n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = C n 2 n 2 n + 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n 2 – k k = 0 n 2 – 1 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

Нечетные показатели, где n = 3 , 5 , 7 …, выражение имеет вид

sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) и cos n α = 1 2 n – 1 ∑ ( – 1 ) n – 1 2 – k k = 0 n – 1 2 · C k n · cos ( ( n – 2 · k ) α ) .

Читайте также  Сколько существует четырехзначных чисел кратных 3

C p q = p ! q ! · ( p – q ) ! – это число сочетаний из p элементов по q .

Формулы понижения степени общего вида используются на любого выражения с высокой степенью для его упрощения. Рассмотрим пример для понижения кубического синуса. Третья степень нечетная, значит воспользуемся формулой sin n α = 1 2 n – 1 · ∑ ( – 1 ) n – 2 2 – k k = 0 n – 1 2 – k · C k n · sin ( ( n – 2 · k ) α ) где значение n присвоим 3 . Подставляя n = 3 в выражение, получим

sin 3 α = 1 2 3 – 1 · ∑ ( – 1 ) 3 – 1 2 – k k = 0 3 – 1 2 – k · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ∑ ( – 1 ) 1 – k k = 0 1 · C k 3 · sin ( ( 3 – 2 · k ) α ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 – 0 · C 0 3 · sin ( ( 3 – 2 · 0 ) α ) + ( 1 ) 1 – 1 · C 1 3 · sin ( ( 3 – 2 · 1 ) α ) ) = = 1 4 · ( ( – 1 ) 1 · 3 ! 0 ! · 3 ! · sin 3 α + ( – 1 ) 0 · 3 ! 1 ! · ( 3 – 1 ) ! · sin α ) = = 1 4 · ( – sin 3 α + 3 · sin α ) = 3 · sin α – sin 3 α 4

Примеры применения формул понижения степени

Чтобы закрепить материал, необходимо детально разобрать его на примерах с использованием формулы понижения степени. Таким образом будет понятен принцип решения, подстановка и весь алгоритм.

Справедлива ли формула вида cos 4 α = 3 + 4 · cos 2 α + cos 4 α 8 при α = α 6 .

Для того, чтобы данная формула прошла проверку на возможность понижения степени с заданным значением угла α , необходимо посчитать левую и правую стороны. По условию имеем, что α = π 6 , тогда 2 α = π 3 , следовательно 4 α = 2 π 3 .

По таблице тригонометрических функций имеем, что cos α = cos π 6 = 3 2 , тогда cos 2 α = cos π 3 = 1 2 .

Для подробного уяснения необходимо проштудировать статью значения синуса, косинуса, тангенса и котангенса. Подставляя в формулу, получим cos 4 α = ( cos π 6 ) 4 = ( 3 2 ) 4 = 9 16 и 3 + 4 cos 2 α + cos 4 α 8 = 3 + 4 cos π 3 + cos 2 π 3 8 = 3 + 4 · 1 2 + ( – 1 2 ) 8 = 9 16

Читайте также  Программа для создания векторных изображений

Отсюда видим, что левая и правая части равенства верны при α = π 6 , значит, выражение справедливо при значении заданного угла. Если угол отличен от α , формула понижения степени одинаково применима.

При помощи формулы понижения степени преобразовать выражение sin 3 2 β 5 .

Кубический синус для угла α имеет формулу вида sin 3 α = 3 · sin α – sin 3 α 4 . В данном случае необходимо выполнить замену α на 2 β 5 и подставить в формулу, тогда получаем выражение вида sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin ( 3 · 2 β 5 ) 4 .

Это выражение равно равенству sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Ответ: sin 3 2 β 5 = 3 · sin 2 β 5 – sin 6 β 5 4 .

Для решения сложных тригонометрических уравнений применяют формулы понижения степени. Они способны упростить выражение и сделать его намного удобным для вычислений или подстановки числовых значений.

так как для любого действительного х:

причем равенство достигается только тогда когда

откуда из первого sin x=1 V sin x=-1 V sin x=0

со второго cos x=1 или cos x=0

учитывая, что когда sin x=1 V sin x=-1 то cos x=0 (по основному тригонометрическому тождеству) а когда cos x=1 то sin x=0, по модулю одновременно они не могут быть равными 1, то

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector