5 мая Здесь будет город-сад.
Наша группа ВКонтакте
Мобильные приложения:
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости можно провести через данную точку?
Ответ: Бесконечно много.
Аналоги к заданию № 316: 317 Все
Сколько плоскостей, перпендикулярных данной плоскости можно провести через данную прямую?
Ответ: Бесконечно много, если прямая перпендикулярна плоскости; одну в противном случае.
Сколько пар перпендикулярных плоскостей можно провести через данную прямую?
Ответ: Бесконечно много.
Аналоги к заданию № 318: 319 Все
Сколько пар перпендикулярных плоскостей можно провести так, чтобы каждая из них содержала одну из двух данных параллельных прямых?
Ответ: Бесконечно много.
Можно ли через прямую а, перпендикулярную плоскости 
провести плоскость, не перпендикулярную плоскости 
5.5.2.1. Сначала рассмотрим задачи по теме «Точки и прямые», для решения которых не требуется никаких теоретических знаний. Эти задачи продолжают ряд задач, которые были рассмотрены при формировании приемов «синтез» и «анализ».
Начнем с задач, называемых учебными. Эти достаточно простые задачи позволяют освоить обязательный учебный материал.
Задача 5.46. Дана прямая. Сколько точек содержит эта прямая?
Интуитивно ясно, что прямая содержит бесконечное множество точек. Заметим, что даже при углубленном изучении геометрии этот факт доказать не удастся, так как в школьной геометрии нет такой аксиоматики.
Задача 5.47. В пространстве дана точка. Проведите через эту точку 5 прямых. Сколько можно провести прямых через данную точку? Какую фигуру мы при этом получим — плоскую или пространственную?
В этой задаче последний вопрос является неожиданным. На рис. 5.69, а, где через точку О проходят несколько прямых, изображение выглядит плоским, но в условии не указано, что прямые расположены в какой-то одной плоскости. Важно понимать, что прямые, пересекающиеся в одной точке, не обязательно располагаются в одной плоскости и что может получиться «еж» (рис. 5.69, б).
Задача 5.48. Даны две точки. Можно ли через них провести прямую? Сколько можно провести прямых? Почему?
Данная задача имеет полное обоснование, ее вывод базируется на первой аксиоме геометрии — аксиоме прямой.
Задача 5.49. Мы хотим провести прямую. Сколько точек для этого нужно иметь?
Для того, чтобы провести прямую, нужно иметь две точки. Задача 5.50. Вытяните руку перед собой. Рассмотрите точку А, совпадающую с кончиком вашего указательного пальца, и точку В, совпадающую с правым верхним углом вашей комнаты. Сколько прямых одновременно содержат обе точки А и В? Какая аксиома подтверждает ваш ответ?
Одновременно обе точки А и В содержит одна прямая, так как через две точки можно провести прямую и притом только одну. Это следует из аксиомы прямой.
Задача 5.51. Как могут быть расположены пять точек в пространстве? Сколько можно провести прямых, проходящих через какие-либо две из этих точек? Почему?
Перед решением этой задачи учащиеся должны четко представлять себе случаи с тремя и четырьмя точками, относящиеся к базовому уровню. На рис. 5.70 изображен один из случаев возможного расположения пяти точек на плоскости и проведены соответствующие прямые.
Задача 5.52. На плоскости отмечены а) одна; б) две; в) три точки. Сколько можно провести прямых, которые могут пересекаться только в отмеченных точках?
Если отмечена только одна точка, то через нее можно провести несколько прямых (рис. 5.71, а).
Если отмечены две точки, то через них можно провести три прямые (рис. 5.71, б).
Если отмечены три точки, являющиеся вершинами треугольника, то мы тоже получим три прямые (построим три прямые, которые будут попарно пересекаться и лежать в одной плоскости (рис. 5.71, в).
Следующая задача является наглядным примером обучения приему мыслительной деятельности «анализ».
Задача 5.53. Как могут быть расположены прямая и точка?
Прямая и точка могут иметь следующие случаи взаимного расположения: точка принадлежит прямой (рис. 5.72, а), точка лежит в одной из полуплоскостей, заданных данной прямой (рис. 5.72, б, в).
Задача 5.54. Как могут быть расположены прямая и две точки? Решение
Прямая и две точки могут иметь следующие случаи взаимного расположения: обе точки лежат на прямой (рис. 5.73, а); одна точка принадлежит прямой (рис. 5.73, б), а другая — нет; обе точки не принадлежат этой прямой (рис. 5.73, в).
Задача 5.55. Начертите прямую а и отметьте: а) точки А и Б, лежащие на прямой а; б) точки Р, Q и R, не лежащие на этой прямой.
Задача 5.56. Без чертежных инструментов постарайтесь отметить пять точек А, В, С, D, Е так, чтобы они лежали на одной прямой. Проверьте с помощью линейки, лежат ли на одной прямой точки: 1) А, Б и Е; 2) С, Б и Е; 3) Б, Б и D.
Задача 5.57. Рассмотрите рис. 5.74 и ответьте на следующие вопросы:
- 1. Через какие точки проходят прямые а, b и с?
- 2. Какие точки лежат на прямой Ь?
- 3. Какие точки лежат на прямой с?
Задача 5.58. Какие из вершин куба (рис. 5.75) принадлежат прямым а, Ъ, с, d?
Задача 5.59. В пространстве есть четыре точки. Как они могут быть расположены? Сколько через них можно провести прямых?
Первый этап решения этой задачи такой же, как и при рассмотрении трех точек в пространстве. Мы используем прием мыслительной деятельности «анализ» и, опираясь на опыт, наглядные представления, приходим к следующим случаям взаимного расположения четырех точек в пространстве:
а) все четыре точки лежат на одной прямой (рис. 5.76, а);
- б) три точки лежат на одной прямой, а одна — вне этой прямой (рис. 5.76, б);
- в) четыре точки лежат в одной плоскости, причем никакие три из них не принадлежат одной прямой (рис. 5.76, в);
- г) три точки лежат в одной плоскости и не лежат на одной прямой, а четвертая — этой плоскости не принадлежит.
Второй этап решения связан с использованием приемов мыслительной деятельности сравнения и обобщения, проведя которые, приходим к выводу, что четыре точки в пространстве могут определять 1, 4 или 6 прямых.
Задача 5.60. На листе бумаги отметили пять точек и провели прямые, каждая из которых проходит через какие-либо две из этих точек. Сколько прямых проходит через эти точки? Как расположить точки, чтобы оказались проведенными: а) 5 прямых; б) 10 прямых?
Сначала проанализируем, как могут на плоскости располагаться пять точек. Возможны следующие случаи.
1. Все пять точек лежат на одной прямой (рис. 5.77, а).
- 2. Четыре точки лежат на прямой, а одна не лежит на ней (рис. 5.77, б).
- 3. Три точки лежат на прямой, а две не лежат на ней (рис. 5.77, в).
- 4. Три точки лежат на каждой из двух пересекающихся прямых, при этом одна из пяти точек является их точкой пересечения (рис. 5.78, а).
- 5. Четыре точки являются вершинами четырехугольника, а пятая точка лежит внутри него (рис. 5.78, б).
- 6. Точки являются вершинами пятиугольника (рис. 5.78, в). При этом может образоваться одна прямая (рис. 5.77, а); пять
прямых (рис. 5.77, б); восемь прямых (рис. 5.77, в); шесть прямых (рис. 5.78, а); десять прямых (рис. 5.78, б, в).
В следующих двух задачах нужно провести небольшое доказательство.
Задача 5.61. Дано: Р и О — различные точки. Прямая 1г содержит обе точки Р и О, прямая /2 также содержит обе точки Р и О. Что можно сказать о прямых и 1
Загрузка...
