Физический смысл производной. В состав ЕГЭ по математике входит группа задач для решения которых необходимо знание и понимание физического смысла производной. В частности, есть задачи, где дан закон движения определённой точки (объекта), выраженный уравнением и требуется найти его скорость в определённый момент времени движения, либо время, через которое объект приобретёт определённую заданную скорость. Задачи очень простые, решаются они в одно действие. Итак:
Пусть задан закон движения материальной точки x (t) вдоль координатной оси, где x координата движущейся точки, t – время.
Скорость в определённый момент времени – это производная координаты по времени. В этом и состоит механический смысл производной.
Аналогично, ускорение – это производная скорости по времени:
Таким образом, физический смысл производной это скорость. Это может быть скорость движения, скорость изменения какого-либо процесса (например роста бактерий), скорость совершения работы (и так далее, прикладных задач множество).
Кроме того, необходимо знать таблицу производных (знать её нужно также, как таблицу умножения) и правила дифференцирования. Если конкретно, то для решения оговоренных задач необходимо знание первых шести производных (см. таблицу):
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = t 2 – 7t – 20
где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 5 c.
Физический смысл производной это скорость (скорость движения, скорость изменения процесса, скорость работы и т.д.)
Найдем закон изменения скорости: v (t) = x′(t) = 2t – 7 м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 6t 2 – 48t + 17, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 9 c.
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = 0,5t 3 – 3t 2 + 2t, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 6 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = –t 4 + 6t 3 + 5t + 23
где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость (в метрах в секунду) в момент времени t = 3 с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/6) t 2 + 5t + 28
где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 6 м/с?
Найдем закон изменения скорости:
Для того, чтобы найти, в какой момент времени t скорость была равна 3 м/с, необходимо решить уравнение:
Материальная точка движется прямолинейно по закону x (t) = t 2 – 13t + 23, где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 3 м/с?
Материальная точка движется прямолинейно по закону
x (t) = (1/3) t 3 – 3t 2 – 5t + 3
где x — расстояние от точки отсчета в метрах, t — время в секундах, измеренное с начала движения. В какой момент времени (в секундах) ее скорость была равна 2 м/с?
Отмечу, что ориентироваться только на такой тип задач на ЕГЭ не стоит. Могут совершенно неожиданно ввести задачи обратные представленным. Когда дан закон изменения скорости и будет стоять вопрос о нахождении закона движения.
Подсказка: в этом случае необходимо найти интеграл от функции скорости (это так же задачи в одно действие). Если потребуется найти пройденное расстояние за определённый момент времени, то необходимо подставить время в полученное уравнение и вычислить расстояние. Впрочем, мы такие задачи тоже будем разбирать, не пропустите! Успехов вам!
Тут всё перепутано. Скорость — производная координаты по времени, а ускорение — производная скорости по времени.
Не буду углубляться в дифференциальное исчисление, объясню вкратце. Если координата меняется со временем, то координата есть функция, зависящая от её аргумента, времени. Таким образом, скорость — производная этой функции. Если же координата не меняется со временем (константа), то производная будет равна нулю. Очевидно, что скорость здесь равна нулю.
В случае прямолинейного равномерного движения, производная равна константе — постоянной скорости. В случае прямолинейного равноускоренного движения, производная стремится к функции (первой степени) скорости, зависящей от времени. Производная же этой функции равна другой константе — постоянному ускорению.
Отсюда и следуют формулы для равномерного прямолинейного движения (v=S/t) и равноускоренного прямолинейного движения (v₁=v₀+a×t).
По сути, производная — предел, к которому стремится отношение приращения функции к приращению её аргумента, который стремится к нулю (отношение минимального шажка функции к минимальному шажку аргумента). Пишется как df/dx (f — функция, x — аргумент).
В физике производная по времени означает то, как физическая величина меняется со временем.
Если (x=x(t)) – уравнение, задающее движение точки, зависящее от времени, то:
(lacktriangleright) производная (x'(t)) задает скорость в момент времени (t) ;
(lacktriangleright) вторая производная (производная от производной) (x»(t)) задает ускорение в момент времени (t) .
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^2 — 12t) , где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)) , в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)) .
(x'(t) = 14t — 12) , тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 14cdot 1 — 12 = 2) м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^2 — 8t) , где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)) , в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)) .
(x'(t) = 4t — 8) , тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 4cdot 2 — 8 = 0) м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = t^2 + 2t + 3) , где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 1) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)) , в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)) .
(x'(t) = 2t + 2) , тогда в момент (t = 1) с:
(x'(1) = 2cdot 1 + 2 = 4) м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 2t^3 — t^2 + 2t + 3) , где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 2) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)) , в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)) .
(x'(t) = 6t^2 — 2t + 2) , тогда в момент (t = 2) с:
(x'(2) = 6cdot 2^2 — 2cdot 2 + 2 = 22) м/с.
Материальная точка движется прямолинейно по закону (x(t) = 7t^4 + 6t^3 + 5t^2 + 4t + 2016) , где (x) – расстояние от точки (x = 0) в метрах, (t) – время в секундах, измеренное с начала движения. Найдите ее скорость в момент времени (t = 0,5) с. Ответ дайте в метрах в секунду.
Скорость материальной точки, прямолинейно движущейся по закону (x(t)) , в момент времени (t_0) равна (x'(t_0)) .
(x'(t) = 28t^3 + 18t^2 + 10t + 4) , тогда в момент (t = 0,5) с:
(x'(0,5) = 28cdot dfrac<1> <8>+ 18cdot dfrac<1> <4>+ 10cdot dfrac<1> <2>+ 4 = 3,5 + 4,5 + 5 + 4 = 17) м/с.
Загрузка...
