Сложение чисел с отрицательными степенями

Сложение и вычитание степеней

Очевидно, что числа со степенями могут слагаться, как другие величины , путем их сложения одно за другим со своими знаками.

Так, сумма a 3 и b 2 есть a 3 + b 2 .
Сумма a 3 – b n и h 5 -d 4 есть a 3 – b n + h 5 – d 4 .

Коэффициенты одинаковых степеней одинаковых переменных могут слагаться или вычитаться.

Так, сумма 2a 2 и 3a 2 равна 5a 2 .

Это так же очевидно, что если взять два квадрата а, или три квадрата а, или пять квадратов а.

Но степени различных переменных и различные степени одинаковых переменных, должны слагаться их сложением с их знаками.

Так, сумма a 2 и a 3 есть сумма a 2 + a 3 .

Это очевидно, что квадрат числа a, и куб числа a, не равно ни удвоенному квадрату a, но удвоенному кубу a.

Сумма a 3 b n и 3a 5 b 6 есть a 3 b n + 3a 5 b 6 .

Вычитание степеней проводится таким же образом, что и сложение, за исключением того, что знаки вычитаемых должны соответственно быть изменены.

Из 2a 4 3h 2 b 6 5(a – h) 6
Вычитаем -6a 4 4h 2 b 6 2(a – h) 6
Результат 8a 4 -h 2 b 6 3(a – h) 6

Или:
2a 4 – (-6a 4 ) = 8a 4
3h 2 b 6 – 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a – h) 6 – 2(a – h) 6 = 3(a – h) 6

Умножение степеней

Числа со степенями могут быть умножены, как и другие величины, путем написания их одно за другим, со знаком умножения или без него между ними.

Так, результат умножения a 3 на b 2 равен a 3 b 2 или aaabb.

Первый множитель x -3 3a 6 y 2 a 2 b 3 y 2
Второй множитель a m -2x a 3 b 2 y
Результат a m x -3 -6a 6 xy 2 a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Или:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y

Результат в последнем примере может быть упорядочен путём сложения одинаковых переменных.
Выражение примет вид: a 5 b 5 y 3 .

Сравнивая несколько чисел(переменных) со степенями, мы можем увидеть, что если любые два из них умножаются, то результат – это число (переменная) со степенью, равной сумме степеней слагаемых.

Так, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .

Здесь 5 – это степень результата умножения, равная 2 + 3, сумме степеней слагаемых.

Так, a n .a m = a m+n .

Для a n , a берётся как множитель столько раз, сколько равна степень n;

И a m , берётся как множитель столько раз, сколько равна степень m;

Поэтому, степени с одинаковыми основами могут быть умножены путём сложения показателей степеней.

Так, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . И x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .

Первый множитель 4a n b 2 y 3 (b + h – y) n
Второй множитель 2a n b 4 y (b + h – y)
Результат 8a 2n b 6 y 4 (b + h – y) n+1

Или:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h – y) n ⋅ (b + h – y) = (b + h – y) n+1

Умножьте (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3 ) ⋅ (x – y).
Ответ: x 4 – y 4 .
Умножьте (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).

Это правило справедливо и для чисел, показатели степени которых – отрицательные.

1. Так, a -2 .a -3 = a -5 . Это можно записать в виде (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa.

Читайте также  При смене роутера нужно ли звонить провайдеру

2. y -n .y -m = y -n-m .

3. a -n .a m = a m-n .

Если a + b умножаются на a – b, результат будет равен a 2 – b 2 : то есть

Результат умножения суммы или разницы двух чисел равен сумме или разнице их квадратов.

Если умножается сумма и разница двух чисел, возведённых в квадрат, результат будет равен сумме или разнице этих чисел в четвёртой степени.

Так, (a – y).(a + y) = a 2 – y 2 .
(a 2 – y 2 )⋅(a 2 + y 2 ) = a 4 – y 4 .
(a 4 – y 4 )⋅(a 4 + y 4 ) = a 8 – y 8 .

Деление степеней

Числа со степенями могут быть поделены, как и другие числа, путем отнимая от делимого делителя, или размещением их в форме дроби.

Таким образом a 3 b 2 делённое на b 2 , равно a 3 .

Делимое 9a 3 y 4 a 2 b + 3a 2 d⋅(a – h + y) 3
Делитель -3a 3 a 2 (a – h + y) 3
Результат -3y 4 b + 3 d

Запись a 5 , делённого на a 3 , выглядит как $frac$. Но это равно a 2 . В ряде чисел
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
любое число может быть поделено на другое, а показатель степени будет равен разнице показателей делимых чисел.

При делении степеней с одинаковым основанием их показатели вычитаются..

Так, y 3 :y 2 = y 3-2 = y 1 . То есть, $frac = y$.

И a n+1 :a = a n+1-1 = a n . То есть $frac = a^n$.

Делимое y 2m 8a n+m 12(b + y) n
Делитель y m 4a m 3(b + y) 3
Результат y m 2a n 4(b +y) n-3

Или:
y 2m : y m = y m
8a n+m : 4a m = 2a n
12(b + y) n : 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3

Правило также справедливо и для чисел с отрицательными значениями степеней.
Результат деления a -5 на a -3 , равен a -2 .
Также, $frac<1> : frac<1> = frac<1>.frac <1>= frac = frac<1>$.

h 2 :h -1 = h 2+1 = h 3 или $h^2:frac<1> = h^2.frac <1>= h^3$

Необходимо очень хорошо усвоить умножение и деление степеней, так как такие операции очень широко применяются в алгебре.

Примеры решения примеров с дробями, содержащими числа со степенями

1. Уменьшите показатели степеней в $frac<5a^4><3a^2>$ Ответ: $frac<5a^2><3>$.

2. Уменьшите показатели степеней в $frac<6x^6><3x^5>$. Ответ: $frac<2x><1>$ или 2x.

3. Уменьшите показатели степеней a 2 /a 3 и a -3 /a -4 и приведите к общему знаменателю.
a 2 .a -4 есть a -2 первый числитель.
a 3 .a -3 есть a 0 = 1, второй числитель.
a 3 .a -4 есть a -1 , общий числитель.
После упрощения: a -2 /a -1 и 1/a -1 .

4. Уменьшите показатели степеней 2a 4 /5a 3 и 2 /a 4 и приведите к общему знаменателю.
Ответ: 2a 3 /5a 7 и 5a 5 /5a 7 или 2a 3 /5a 2 и 5/5a 2 .

5. Умножьте (a 3 + b)/b 4 на (a – b)/3.

6. Умножьте (a 5 + 1)/x 2 на (b 2 – 1)/(x + a).

7. Умножьте b 4 /a -2 на h -3 /x и a n /y -3 .

8. Разделите a 4 /y 3 на a 3 /y 2 . Ответ: a/y.

Прежде чем перейти к изучению определения «отрицательная степень» рекомендуем повторно прочитать урок «Степень» и «Свойства степеней».

Необходимо уверенно понимать, что такое положительная степень числа и уверенно использовать её свойства в решении примеров.

Как возвести число в отрицательную степень

Чтобы возвести число в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» число. Записать его в виде дроби с единицой наверху (в числителе) и с исходным числом в степени внизу;
  • заменить отрицательную степень на положительную ;
  • возвести число в положительную степень.

Общая формула возведения в отрицательную степень выглядит следующим образом.

a −n =

1
a n

,где a ≠ 0, n ∈ z ( n принадлежит целым числам).

Читайте также  Сайт знакомств круг вокруг бесплатно

Примеры возведения в отрицательную степень.

  • 6 −2 =
    1
    6 2

    =

    1
    36
  • (−3) −3 =
    1
    (−3) 3

    =

    1
    −27

    = −

    1
    27
  • 0,2 −2 =
    1
    0,2 2

    =

    1
    0,04

Любое число в нулевой степени — единица.

Примеры возведения в нулевую степень.

  • (
    2
    3

    ) 0 = 1

  • (−5) 0 = 1

Как найти 10 в минус 1 степени

В уроке 8 класса «Стандартный вид числа» мы уже сталкивались с записью:

Теперь, зная определение отрицательной степени, давайте разберемся, почему « 10 » в минус первой степени равно « 0,1 ».

Возведем « 10 −1 » по правилам отрицательной степени. Перевернем « 10 » и запишем её в виде дроби «

1
10

» и заменим отрицательную степень « −1 » на
положительную степень « 1 ».

10 −1 =

1
10 1

Возведем « 10 » в « 1 » степень. Помним, что любое число в первой степени равно самому числу.

10 −1 =

1
10 1

=

1
10

Теперь по определению десятичной дроби запишем обыкновенную дробь в виде десятичной.

10 −1 =

1
10 1

=

1
10

= 0,1

По такому же принципу можно найти « 10 » в минус второй, третьей и т.д.

Для упрощения перевода « 10 » в минус первую, вторую и т.д степени, нужно запомнить правило:
«Количество нулей после запятой равно положительному значению степени минус один ».

Проверим правило выше для « 10 −2 ».

Т.к. у нас степень « −2 », значит, будет всего один ноль (положительное значение степени « 2 − 1 = 1 ». Сразу после запятой ставим один ноль и за ним « 1 ».

Рассмотрим « 10 −1 ».

Т.к. у нас степень « −1 », значит, нулей после запятой не будет (положительное значение степени « 1 − 1 = 0 ». Сразу после запятой ставим « 1 ».

То же самое правило работает и для « 10 −12 ». При переводе в десятичную дробь будет « 12 − 1 = 11 » нулей и « 1 » в конце.

Как возвести в отрицательную степень дробь

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень нужно:

  • «перевернуть» дробь;
  • заменить отрицательную степень на положительную ;
  • возвести дробь в положительную степень.

Пример. Требуется возвести в отрицательную степень дробь.

(

10
3

) −3 =
Перевернем дробь «

10
3

» и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».
(

10
3

) −3 = (

3
10

) 3

Возведем дробь в положительную степень по правилу возведения дроби в положительную степень. Т.е. возведем и числитель « 3 », и знаменатель « 10 » в третью степень.

(

10
3

) −3 = (

3
10

) 3 =

3 3
10 3

=

27
1000

Для более грамотного ответа запишем полученный результат в виде десятичной дроби.

(

10
3

) −3 = (

3
10

) 3 =

3 3
10 3

=

27
1000

= 0,027

Как возвести отрицательное число в отрицательную степень

Как и при возведении отрицательного числа в положительную степень, в первую очередь необходимо определить конечный знак результата возведения в степень. Вспомним основные правила еще раз.

Отрицательное число, возведённое в чётную степень, — число положительное .

Отрицательное число, возведённое в нечётную степень, — число отрицательное .

Перевернем число « −5 » и заменим отрицательную степень « −2 »
на положительную « 2 ».

(−5) −2 = (−

1
5

) 2 =

Так как степень « 2 » — четная , значит, результат возведения в степень будет положительный . Поэтому убираем знак минуса при раскрытии скобок.

Далее откроем скобки и возведем во вторую степень и числитель « 1 »,
и знаменатель « 5 ».

(−5) −2 = (−

1
5

) 2 =

1 2
5 2

=

1
25

Как возвести отрицательную дробь в отрицательную степень

Конечный знак результата возведения в степень отрицательной дроби определяется по тем же правилам, что и для целого отрицательного числа.

Отрицательная дробь, возведённая в чётную степень, — дробь положительная .

Отрицательная дробь, возведённая в нечётную степень, — дробь отрицательная .

Разберемся на примере. Задание: возвести отрицательную дробь « (−

2
3

) » в « −3 » степень.

По правилу возведения дроби в отрицательную степень перевернем дробь и заменим отрицательную степень « −3 » на положительную « 3 ».

(−

2
3

) −3 = (−

3
2

) 3 =

Теперь определим конечный знак результата возведения в « 3 » степень.

Степень « 3 » — нечетная , значит, по правилу возведения отрицательного числа в степень дробь останется отрицательной .

Нам остается только раскрыть скобки и возвести в степень и числитель « 3 », и знаменатель « 2 » в третью степень.

(−

2
3

) −3 = (−

3
2

) 3 = −

3 3
2 3

= −

27
8

Для окончательного ответа выделим целую часть из дроби.

(−

2
3

) −3 = (−

3
2

) 3 = −

3 3
2 3

= −

27
8

= − 3

3
4

Рассмотрим другой пример возведения отрицательной дроби в отрицательную степень.

Правило возведения отрицательного числа в степень гласит: если степень четная , значит, результат возведения будет положительным .

(−

9
11

) −2 = (−

11
9

) 2 =

11 2
9 2

=

121
81

= 1

40
81

Свойства отрицательной степени

Все свойства степени, которые используются для положительной степени, точно также применяются и для отрицательной степени.

В этом уроке мы не будем повторно подробно разбирать каждое свойство степени, но еще раз приведем основные формулы свойств степени и покажем примеры их использования.

Запомните!

  • a m · a n = a m + n
  • a m
    a n

    = a m − n

  • (a n ) m = a n · m
  • (a · b) n = a n · b n

Примеры решений заданий с отрицательной
степенью

Колягин 9 класс. Задание № 1

Представить в виде степени.

2) a 6 · b 6 = (ab) 6

Колягин 9 класс. Задание № 5

Записать в виде степени с отрицательным числом.

Степень с отрицательным показателем

Число с отрицательным показателем степени равно дроби, числителем которой является единица, а знаменателем данное число с положительным показателем.

d -c = 1 ; 7 -5 = 1 ; a -5 = 1
d c 7 5 a 5

Чтобы разобраться, почему число в отрицательной степени равно дроби, надо вспомнить правило деления степеней с одинаковыми основаниями:

При делении степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитают показатель степени делителя.

Следовательно, если степень делимого будет меньше степени делителя, то в результате получится число с отрицательной степенью:

Если записать деление в виде дроби, то при сокращении в числителе останется 1, а в знаменателе число будет иметь положительную степень:

a 5 = 1
a 8 a 3
a -3 = 1
a 3

Действия над степенями с отрицательными показателями

При умножении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями показатели степеней складываются:

При делении отрицательных степеней с одинаковыми основаниями из показателя степени делимого вычитается показатель делителя:

Чтобы возвести произведение в отрицательную степень, надо возвести в эту степень каждый сомножитель отдельно:

Чтобы возвести дробь в отрицательную степень, надо возвести в эту степень отдельно числитель и знаменатель:

При возведении одной степени (положительной или отрицательной) в степень (положительную или отрицательную) показатели степеней перемножаются:

Ссылка на основную публикацию
Adblock detector