Сложение дробей комплексных чисел

В математике кроме натуральных, рациональных и вещественных чисел имеется ещё один вид, называемый комплексными числами. Такое множество принято обозначать символом $ mathbb $.

Рассмотрим, что из себя представляет комплексное число. Запишем его таким образом: $ z = a + ib $, в котором мнимая единица $ i = sqrt <-1>$, числа $ a,b in mathbb $ вещественные.

Если положить $ b = 0 $, то комплексное число превращается в вещественное. Таким образом, можно сделать вывод, что действительные числа это частный случай комплексных и записать это в виде подмножества $ mathbb subset mathbb $. К слову говоря также возможно, что $ a = 0 $.

Принято записывать мнимую часть комплексного числа как $ Im(z) = b $, а действительную $ Re(z) = a $.

Введем понятие комплексно-сопряженных чисел. К каждому комплексному числу $ z = a+ib $ существует такое, что $ overline = a-ib $, которое и называется сопряженным. Такие числа отличаются друг от друга только знаками между действительной и мнимой частью.

Формы

Так сложилось в математике, что у данных чисел несколько форм. Число одно и тоже, но записать его можно по-разному:

1. Алгебраическая $ z = a+ib $
2. Показательная $ z = |z|e^ $
3. Тригонометрическая $ z = |z|cdot(cos(varphi)+isin(varphi)) $

Далее с примерами решений вы узнаете как переводить комплексные числа из одной формы в другую путем несложных действий в обе стороны.

Изображение

Изучение выше мы начали с алгебраической формы. Так как она является основополагающей. Чтобы было понятно в этой же форме изобразим комплексное число на плоскости:

Видим, что $ a,b in mathbb $ расположены на соответствующих осях плоскости.

Комплексное число $ z = a+ib $ представляется в виде вектора $ overline $.

Аргумент обозначается $ varphi $.

Модуль $ |z| $ равняется длине вектора $ overline $ и находится по формуле $ |z| = sqrt $

Аргумент комплексного числа $ varphi $ нужно находить по различным формулам в зависимости от полуплоскости, в которой лежит само число.

Вычислить сумму и разность заданных комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

Сначала выполним сложение. Для этого просуммируем соответствующие мнимые и вещественные части комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (3+i) + (5-2i) = (3+5)+(i-2i) = 8 — i $$

Аналогично выполним вычитание чисел:

$$ z_1 — z_2 = (3+i) — (5-2i) = (3-5)+(i+2i) = -2 + 3i $$

Выполнить умножение и деление комплексных чисел:

$$ z_1 = 3+i, z_2 = 5-2i $$

$$ z_1 cdot z_2 = (3+i) cdot (5-2i) = $$

Просто на просто раскроем скобки и произведем приведение подобных слагаемых, так же учтем, что $ i^2 = -1 $:

$$ = 15 — 6i + 5i -2i^2 = 15 — i — 2cdot(-1) = $$

$$ = 15 — i + 2 = 17 — i $$

Так, теперь разделим первое число на второе:

Суть деления в том, чтобы избавиться от комплексного числа в знаменателе. Для этого нужно домножить числитель и знаменатель дроби на комплексно-сопряженное число к знаменателю и затем раскрываем все скобки:

Разделим числитель на 29, чтобы записать дробь в виде алгебраической формы:

Для возведения в квадрат достаточно умножить число само на себя:

$$ z^2 = (3+3i)^2 = (3+3i)cdot (3+3i) = $$

Пользуемся формулой для умножения, раскрываем скобки и приводим подобные:

$$ =9 + 9i + 3icdot 3 + 9i^2 = 9 + 18i — 9 = 18i $$

Получили ответ, что $$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$

В этом случае не всё так просто как в предыдущем случае, когда было возведение в квадрат. Конечно, можно прибегнуть к способу озвученному ранее и умножить число само на себя 7 раз, но это будет очень долгое и длинное решение. Гораздо проще будет воспользоваться формулой Муавра. Но она работает с числами в тригонометрической форме, а число задано в алгебраической. Значит, прежде переведем из одной формы в другую.

Вычисляем значение модуля:

Найдем чем равен аргумент:

$$ varphi = arctg frac<3> <3>= arctg(1) = frac<pi> <4>$$

Записываем в тригонометрическом виде:

Возводим в степень $ n = 7 $:

Преобразуем в алгебраическую форму для наглядности:

$$ = 3^7 sqrt<2>^6 (1-i) = 3^7 cdot 8(1-i) = $$

$$ = 2187 cdot 8 (1-i) = 17496(1-i) $$

$$ z^2 = (3+i)^2 = 18i $$ $$ z^7 = 17496(1-i) $$

Представим число в тригонометрической форме. Найдем модуль и аргумент:

$$ varphi = arctg frac<0> <-1>+pi = arctg 0 + pi = pi $$

Получаем: $$ z = (cos pi + isin pi) $$

Используем знакомую формулу Муавра для вычисления корней любой степени:

Так как степень $ n = 3 $, то по формуле $ k = 0,1,2 $:

Решать будем по общей формуле, которую все выучили в 8 классе. Находим дискриминант $$ D = b^2 — 4ac = 2^2 — 4cdot 1 cdot 2 = 4-8 = -4 $$

Пусть заданы два комплексных числа $ z_1 = a + bi $ и $ z_2 = c + di $. Числа $ a = Re z_1 $ и $ c = Re z_2 $ действительные части, а числа $ b = Im z_1 $ и $ d = z_2 $ соответственно мнимые части этих комплексных чисел. Мнимая единица $ i = sqrt <-1>$

Сложение комплексных чисел — это операция при которой складываются соответствующие действительные и мнимые части по формуле:

$$ z_1 + z_2 = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i $$

Складывать комплексные числа можно в тригонометрической и показательной формах. Но удобнее всего это делать в алгебраической. Поэтому разберем примеры решений для неё.

Примеры решений

Действительные части это: $$ a = Re z_1 = 2 $$ $$ c = Re z_2 = 3 $$

Мнимые части это: $$ b = Im z_1 = 1 $$ $$ d = Im z_2 = 5 $$

Находим сумму комплексных чисел:

$$ z_1 + z_2 = (2+i) + (3+5i) = $$

По формуле складываются соответствующие дейсвительные и мнимые части. Раскрываем скобки и перегрупируем слагаемые:

$$ = 2 + i + 3 + 5i = (2+3) + (i + 5i) = 5 + 6i $$

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

$$ z_1 + z_2 = 3i + (8-i) = $$

Отмечаем, что в первом комплексном числе отсутствует действительная часть, поэтому её можно заменить на ноль и далее перегруппировав слагаемые решить задание:

$$ = (0 + 3i) + (8 — i) = (0 + 8) + (3i + (-i)) = 8 + 2i $$

Сложение комплексных чисел

Суммой двух комплексных чисел $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называется комплексное число $z$, которое равно

То есть суммой двух комплексных чисел есть комплексное число, действительная и мнимая части которого есть суммой действительных и мнимых частей чисел-слагаемых соответственно.

Задание. Найти сумму $z_<1>+z_<2>$, если $z_<1>=5-6 i$, $z_<2>=-3+2 i$ .

Решение. Искомая сумма равна

Ответ. $z_<1>+z_<2>=2-4 i$

Вычитание комплексных чисел

Разностью двух комплексных чисел $z_<1>=a_<1>+b_ <1>i$ и $z_<2>=a_<2>+b_ <2>i$ называется комплексное число $z=z_<1>-z_<2>$, действительная и мнимая части которого есть разностью действительных и мнимых частей чисел $z_<1>$ и $z_<2>$ соответственно:

Задание. Найти разность $z_<1>-z_<2>$, если $z_<1>=5-6 i$, $z_<2>=-3+2 i$ .

Решение. Действительная часть искомого комплексного числа равна разности действительных частей чисел $z_<1>$ и $z_<2>$ , а мнимая — мнимых частей этих чисел, то есть

Ответ. $z_<1>-z_<2>=8-8 i$