Сложные пределы с тригонометрическими функциями

Основной тригонометрический предел (первый замечательный предел) имеет вид [limlimits_ frac<<sin x>> = 1.] Используя данный предел, можно получить ряд других тригонометрических пределов: [ <limlimits_frac<< an x>> = 1,;;;> <limlimits_frac<<arcsin x>> = 1,;;;> <limlimits_frac<<arctan x>> = 1.>] Здесь и далее предполагается, что углы измеряются в радианах.

Существует множество различных пределов тригонометрических функций. На помощь могут прийти основные методы вычисления:

Рассмотрим примеры подробного решения тригонометрических пределов для разбора каждого способа. Стоит отметить, что все методы можно комбинировать в одной задаче между собой для ускорения процесса вычисления.

Пример 1

Решить предел с тригонометрическими функциями с помощью первого замечательного предела $lim_limits frac<sin3x>$

Решение

Подставляя $x=0$ в предел получаем неопределенность $(frac<0><0>)$. Сделаем преобразования в числителе и знаменателе таким образом, чтобы появился замечательный предел.

$$ tg 2x = frac <2x>cdot 2x $$ $$ sin 3x = frac<sin 3x> <3x>cdot 3x $$

Подставляем получившиеся преобразования, чтобы применить формулу первого замечательного предела.

Теперь остается только сократить $x$ и записать ответ.

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Ответ $$lim_limits frac <sin3x>= frac<2><3>$$

Обратим внимание на корень в числителе. От него нужно избавиться путём умножения и деления на сопряженное к нему число (отличающееся знаком между слагаемыми).

Теперь с помощью формулы разности квадратов $(a-b)(a+b)=a^2 — b^2$ упростим числитель.

В этой задаче не обойтись без тригонометрической формулы $1-cos x = 2sin^2 frac<2>$. Выполним по ней преобразование выражение в знаменателе.

Видим, что в знаменателе появился синус, а это значит, что можно избавиться от него с помощью первого замечательного предела. Как в предыдущем примере одновременно умножаем и делим на аргумент синуса.

Подставляем преобразование синуса, чтобы применить замечательный предел.

Выносим константу перед пределом и сокращаем $x$ в числителе и знаменателе.

Пример 2

Вычислить предел с помощью тригонометрического преобразования $lim_limits frac<sqrt<4+x>-2><1-cos 3x>$

Решение

Ответ

$$lim_limits frac<sqrt<4+x>-2> <1-cos 3x>= infty$$

Читайте также Пункт правил 8 6 пдд

Подставляя $x=0$ получаем неопределенность (0^0). Под пределом показательно-степенная функция, поэтому нужно воспользоваться логарифмированием и свести к неопределенности $(frac<infty><infty>)$, чтобы затем воспользоваться правилом Лопиталя.

Берем производные числителя и знаменателя дроби, стоящей в показателе экспоненты.

Подставляем полученное выражение под знак предела и пременяем свойство предела для показательной функции.

Теперь, подставляя $x=0$ в предел, вычисляем окончательный ответ.

Пример 3

Найти предел с помощью логарифмирования $lim_limits (tg x)^ <sin x>$

Решение

Ответ

$$lim_limits (tg x)^ <sin x>= 1$$

Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.

$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$

Подставляем в предел и получаем готовый ответ.

Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем решение пределов тригонометрических функций на конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел

и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):

(Здесь угол x выражен в радианах). Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.

чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:

Сокращаем числитель и знаменатель на x:

Так как по 1-му замечательному пределу

окончательно получаем, что

Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что