Связь синуса и гиперболического синуса

Наряду с обнаруженной нами в комплексной области связью между тригонометрическими и показательной функциями (формулы Эйлера)

в комплексной области имеется такное очень простая связь между тригонометрическими и гиперболическими функциями.

Напомним, что, согласно определению:

Если в тождестве (3) произвести замену на то в правой части получится то самое выражение, которое стоит в правой части тождества откуда вытекает равенство левых частей. То же самое имеет место для тождеств (4) и (2).

Путем деления обеих частей тождества (6) на соответствующие части тождества (5) и, наоборот, (5) на (6) получим:

Аналогичная замена в тождествах (1) и (2) и сравнение С тождествами (3) и (4) дают:

Наконец, из тождеств (9) и (10) находим:

Если в тождествах (5)-(12) положить где х — действительное число, т. е. считать аргумент чисто мнимым, то получим еще восемь тождеств между тригонометрическими функциями чисто мнимого аргумента и соответствующими гиперболическими функциями действительного аргумента, а также между гиперболическими функциями чисто мнимого Аргумента и соответствующими тригонометрическими функциями действительного аргумента:

Полученные соотношения дают возможность переходить от тригонометрических функций к гиперболическим и от

гиперболических функций к тригонометрическим с заменой мнимого аргумента действительным. Они могут быть сформулированы в виде следующего правила:

Для перехода от тригонометрических функций мнимого аргумента к гиперболическим или, наоборот, от гиперболических функций мнимого аргумента к тригонометрическим следует у синуса и тангенса мнимую единицу вынести за знак функции, а у косинуса отбросить ее вовсе.

Читайте также  Скд параметры стандартный период

Установленная связь замечательна, в частности, тем, что позволяет получить все соотношения между гиперболическими функциями из известных соотношений между тригономет рическими функциями путем замены последних гипербёли ческими функциями

Покажем, как это. делается.

Возьмем для примера основное тригонометрическое тож дество

и положим в нем где х — действительное число; получим:

Если в этом тождестве заменить синус и косинус гипербо лическими синусом и косинусом по формулам то получим или а это и есть основное тождество между выведенное ранее другим путем.

Аналогичным образом можно вывести все остальные формулы, в том числе формулы для гиперболических функций суммы и разности аргументов, двойного и половинного аргументов и т. , таким образом, из обычной тригонометрии получить «гиперболическую тригонометрию».

Если положить где х и у — действительные числа, то, применяя формулы для тригонометрических и гиперболических функций суммы аргументов, получим следующие соотношения:

Формулы (13), (14), (17), (18) получаются непосредственно после замены функций мнимого аргумента соответствующими функциями действительного аргумента; формулы (15), (16), (19), (20) получаются после некоторых преобразований.

Так, например, для формулы (15) имеем:

Путем замены в последних восьми формулах у на — у можно получить еще восемь формул:

Определения гиперболических функций, их области определений и значений

Графики гиперболических функций

Формулы с гиперболическими функциями

Связь с тригонометрическими функциями

sin iz = i sh z ; cos iz = ch z
sh iz = i sin z ; ch iz = cos z
tg iz = i th z ; ctg iz = – i cth z
th iz = i tg z ; cth iz = – i ctg z
Здесь i – мнимая единица, i 2 = – 1 .

Применяя эти формулы к тригонометрическим функциям, получаем формулы, связывающие гиперболические функции.

Четность

sh( –x ) = – sh x ; ch( –x ) = ch x .
th( –x ) = – th x ; cth( –x ) = – cth x .

Читайте также  Процессор mtk helio x20

Функция ch( x ) – четная. Функции sh( x ) , th( x ) , cth( x ) – нечетные.

Разность квадратов

ch 2 x – sh 2 x = 1 .

Формулы суммы и разности аргументов

sh( x ± y ) = sh x ch y ± ch x sh y ,
ch( x ± y ) = ch x ch y ± sh x sh y ,
,
,

sh 2 x = 2 sh x ch x ,
ch 2 x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x – 1 = 1 + 2 sh 2 x ,
.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

Гиперболический синус
sh x = (e x — e -x )/2

Гиперболический косинус
ch x = (e x + e -x )/2

Гиперболический тангенс
th x = (e x — e -x )/(e x + e -x )

Гиперболический котангенс
cth x = (e x + e -x )/(e x — e -x )

Гиперболический секанс
sech x = 2/(e x + e -x )

Гиперболический косеканс
csch x = 2/(e x — e -x )

ОТНОШЕНИЯ МЕЖДУ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИМИ ФУНКЦИЯМИ

cth x = 1/th x = ch x/sh x

ch 2 x — sh 2 x = 1

sech 2 x + th 2 x = 1

cth 2 x — csch 2 x = 1

ФУНКЦИИ ОТРИЦАТЕЛЬНЫХ АРГУМЕНТОВ

ФОРМУЛЫ СЛОЖЕНИЯ

ch (x ± y) = ch x ch y ± sh x sh y

th(x ± y) = (th x ± th y)/(1 ± th x.th y)

cth(x ± y) = (cth x cth y ± l)/(cth y ± cth x)

ФОРМУЛЫ ДВОЙНЫХ УГЛОВ

sh 2x = 2 sh x ch x

ch 2x = ch 2 x + sh 2 x = 2 ch 2 x — 1 = 1 + 2 sh 2 x

th 2x = (2th x)/(1 + th 2 x)

ФОРМУЛЫ ПОЛОВИННЫХ УГЛОВ

$ ext frac <2>= pm sqrt <frac< extx — 1><2>>$ [+ если x > 0, — если x 0, — если x 3 x

ch 3x = 4 ch 3 x — 3 ch x

th 3x = (3 th x + th 3 x)/(1 + 3 th 2 x)

sh 4x = 8 sh 3 x ch x + 4 sh x ch x

ch 4x = 8 ch 4 x — 8 ch 2 x + 1

th 4x = (4 th x + 4 th 3 x)/(1 + 6 th 2 x + th 4 x)

СТЕПЕНИ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh 3 x = ¼sh 3x — ¾sh x

ch 3 x = ¼ch 3x + ¾ch x

sh 4 x = 3/8 — ½ch 2x + 1/8ch 4x

ch 4 x = 3/8 + ½ch 2x + 1/8ch 4x

СУММА, РАЗНИЦА И УМНОЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛИЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ

sh x + sh y = 2 sh ½(x + y) ch ½(x — y)

Читайте также  Программа для отправки смс сообщений

sh x — sh y = 2 ch ½(x + y) sh ½(x — y)

ch x + ch y = 2 ch ½(x + y) ch ½(x — y)

ch x — ch y = 2 sh ½(x + y) sh ½(x — y)

sh x sh y = ½(ch (x + y) — ch (x — y))

ch x ch y = ½(ch (x + y) + ch (x — y))

sh x ch y = ½(sh (x + y) + sh (x — y))

ВЫРАЖЕНИЕ ГИПЕРБОЛТЧЕСКИХ ФУНКЦИЙ ЧЕРЕЗ ДРУГИЕ

В следующем мы принимаем, что x > 0. Если x -1 a называется обратным гиперболическим синусом of x. Аналогично определяются и другие обратные гиперболические функции. Обратные гиперболические функции являются многозначными, но в случае обратных тригонометрических функций мы ограничимся основными значениями, при которых их можно рассматривать как однозначные.

Ниже приведен список основных значений [если не указано иное] обратных гиперболических функций, выраженных через логарифмические функции, которые принимаются в качестве вещественных.

Ссылка на основную публикацию
Adblock
detector