Содержание
Определение. Плоскость, имеющая с шаровой поверхностью только одну общую точку, называется касательной плоскостью. Возможность существования такой плоскости доказывается следующей теоремой.
Теорема. Плоскость (Р, черт. 140), перпендикулярная к радиусу (АО) в конце его, лежащем на поверхности шара, есть касательная плоскость.
Возьмём на плоскости Р произвольную точку В и проведём прямую ОВ. Так как ОВ — наклонная, а ОА — перпендикуляр к плоскости Р, то ОВ > ОА. Поэтому точка В лежит вне шаровой поверхности; следовательно, у плоскости Р есть только одна общая точка А с шаровой поверхностью; значит, эта плоскость касательная.
Обратная теорема. Касательная плоскость (Р, черт. 140) перпендикулярна к радиусу (ОА), проведённому в точку касания.
Так как, по определению, точка А есть единственная общая точка у плоскости с шаровой поверхностью, то всякая другая точка плоскости лежит вне шаровой поверхности и, следовательно, отстоит от центра на большее расстояние, чем А; таким образом, отрезок ОА есть кратчайшее расстояние точки О от плоскости Р, т. е. ОА есть перпендикуляр к Р.
Прямая, имеющая одну общую точку с шаровой поверхностью, называется касательной к шару. Легко видеть, что существует бесчисленное множество прямых, касающихся шара в данной точке. Действительно, всякая прямая (АС, черт. 140), лежащая в плоскости, касательной к шару в данной точке (А), и проходящая через точку касания (А), есть касательная к шару в этой точке.
Опр: Плоскость имеющая со сферой только одну общую току называется касательной плоскостью к сфере, общая точка касания.
Теорема: Радиус сферы, проведенный в точку касания сферы и плоскости, перпендикулярен к касательной плоскости.
Доказательство: (стр.132)
Рассмотрим плоскость α, касающуюся сферы с центром О в точке А (рис.). Докажем, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α.
Предположим, что это не так. Тогда радиус ОА является наклонной к плоскости α, и, следовательно, расстояние от центра сферы до плоскости α меньше радиуса сферы. Поэтому сфера и плоскость пересекаются по окружности. Но это противоречит тому, что плоскость α — касательная, т.е. сфера и плоскость α имеют только одну общую точку. Полученное противоречие доказывает, что радиус ОА перпендикулярен к плоскости α. Теорема доказана.
Докажем обратную теорему.
Теорема: Если радиус сферы перпендикулярен к плоскости, проходящей через его конец, лежащий на сфере, то эта плоскость является касательной к сфере.
Доказательство: (стр. 132)
Из условия теоремы следует, что данный радиус является перпендикуляром, проведенным из центра сферы к данной плоскости. Поэтому расстояние от центра сферы до плоскости равно радиусу сферы, и, следовательно, сфера и плоскость имеют только одну общую точку. Это и означает, что данная плоскость является касательной.
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Увлечёшься девушкой-вырастут хвосты, займёшься учебой-вырастут рога 9976 — 
| 7769 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
 Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере |
| Сфера, вписанная в цилиндр |
| Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар |
Касательная прямая к сфере. Касательная плоскость к сфере
Определение 1. Прямую называют касательной к сфере (прямой, касающейся сферы), если эта прямая имеет со сферой единственную общую точку. Общую точку касательной прямой и сферы называют точкой касания (рис. 1).
Прямая касается сферы тогда и только тогда, когда эта прямая проходит через точку касания и перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в точку касания.
Множество всех прямых, касающихся сферы в некоторой точке, образуют касательную плоскость к сфере в этой точке (рис.2).
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем только одну.
Плоскость касается сферы тогда и только тогда, когда плоскость и сфера имеют общую точку, причем плоскость перпендикулярна радиусу сферы, проведенному в эту точку.
Общую точку сферы и ее касательной плоскости называют точкой касания .
Сфера, вписанная в цилиндр
Определение 2. Сферой, вписанной в цилиндр, называют такую сферу, которая касается плоскостей обоих оснований цилиндра, а каждая образующая цилиндра является касательной к сфере (рис. 3).
Определение 3. Если сфера вписана в цилиндр, то цилиндр называют описанным около сферы .
Из рисунка 3 видно, что справедливы следующие два утверждения.
Утверждение 1. Около любой сферы можно описать цилиндр.
Утверждение 2. В цилиндр можно вписать сферу тогда и только тогда, когда высота цилиндра равна диаметру его основания.
Замечание. В том случае, когда в цилиндр можно вписать сферу, радиус вписанной сферы равняется радиусу основания цилиндра.
Отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар
Задача. Найти отношение объемов шара и цилиндра, описанного около сферы, ограничивающей этот шар.
Ответ. 
Загрузка...
