Пользуясь определением найти сумму ряда

Содержание

1 Определение
2 Как найти?
3 Примеры решений
4 Введите данные для подчета суммы ряда
5 Сходимость ряда

Определение

Пусть задан числовой ряд $ sum_^infty a_n $.

Сумма ряда равна пределу частичных сумм:

В данной формуле частичная сумма $ S_n $ расчитывается следующим образом:

$$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Замечание

Если предел частичных сумм является конечным, то ряд является сходящимся. В противном случае ряд расходящийся.

Как найти?

Чтобы найти сумму ряда нужно выполнить несколько операций над общим членом ряда:

Составить частичную сумму $ S_n $
Найти предел $ lim_ S_n = S $

Если получено конечное число $ S $, то оно и есть сумма ряда!

Типы общего члена ряда в задачах:

Ряд задан бесконечной убывающей геометрической прогрессией $ sum_^infty q^n $, $ |q| lt 1 $
В этом случае сумма вычисляется по формуле $ S = frac<1-q>$, где $ b_1 $ — первый член прогрессии, а $ q $ — её основание
Ряд задан в виде рациональной дроби $ frac$
Здесь нужно воспользоваться методом неопределенных коэффициентов для разложения дроби на сумму элементарных дробей. Затем составить частичную сумму $ S_n $ и найти её предел, который будем искомой суммой

Примеры решений

Так как ряд представляет собой бесконечною убывающую геометрическую прогрессию, то воспользуемся формулой: $$ S = frac <1-q>$$

Первый член прогрессии при $ n = 1 $ равен: $$ b_1 = frac<1> <9>$$ Основанием является: $$ q = frac<1> <3>$$

Подставляя всё это в формулу для вычисления суммы получаем:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Пример 1

Найти сумму ряда: $ sum_^infty frac<1><3^> $

Решение

Ответ

$$ S = frac<1> <6>$$

Общий член ряда представляе собой рациональную дробь. Выполним разложение дроби на простейшие с помощью метода неопределенных коэффициентов:

Приравниваем числитель последней дроби к числителю первой дроби:

$$ 2An + 3A + 2Bn + B = 1 $$

Теперь определяем находим неизвестные коэффициенты:

После разложения общий член ряда записывается следующим образом:

Далее составим частичную сумму ряда: $$ S_n = a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + . + a_n $$

Пример 2

Найти сумму ряда $ sum_^infty frac<1> <(2n+1)(2n+3)>$

Решение

Достаточно часто читатели нам присылают просьбы найти суммы своих рядов по причине того, что они не понимают, откуда получается $ a_ $.

Обратите внимание, чтобы составить $ a_ $ необходимо подставить в $ a_n $ вместо буковки $ n $ выражение $ n-1 $. После выполнить раскрытие скобок.

Выносим дробь одну вторую $ frac<1> <2>$ за скобки:

Замечаем, что в скобках есть подобные слагаемые, которые взаимно уничтожаются. Остаются только лишь два из них:

Теперь осталось вычислить предел частичной суммы $ S_n $. Если он существует и конечен, то он является суммой ряда, а сам ряд сходится:

Замечание

Ответ

$$ S = frac<1> <6>$$

В статье было рассказано: как найти сумму ряда, примеры решений, определение и формулы для двух типов числовых рядов.

Введите данные для подчета суммы ряда

Найдем сумму ряда чисел. Если не получается ее найти, то система вычисляет сумму ряда с определенной точностью.

Сходимость ряда

Данный калькулятор умеет определять — сходится ли ряд, также показывает — какие признаки сходимости срабатывают, а какие — нет.

Также умеет определять сходимость степенных рядов.

Также строится график ряда, где можно увидеть скорость сходимости ряда (или расходимости).

Правила ввода выражений и функций

Для того, чтобы вычислить сумму ряда, нужно просто сложить элементы ряда заданное количество раз. Например:

В приведённом выше примере это удалось сделать очень просто, поскольку суммировать пришлось конечное число раз. Но что делать, если верхний предел суммирования бесконечность? Например, если нам нужно найти сумму вот такого ряда:

По аналогии с предыдущим примером, мы можем расписать эту сумму вот так:

Но что делать дальше?! На этом этапе необходимо ввести понятие частичной суммы ряда. Итак, частичной суммой ряда (обозначается S_n ) называется сумма первых n слагаемых ряда. Т.е. в нашем случае:

Тогда сумму исходного ряда можно вычислить как предел частичной суммы:

Таким образом, для вычисления суммы ряда, необходимо каким-либо способом найти выражение для частичной суммы ряда ( S_n ). В нашем конкретном случае ряд представляет собой убывающую геометрическую прогрессию со знаменателем 1/3. Как известно сумма первых n элементов геометрической прогрессии вычисляется по формуле:

здесь b ₁ — первый элемент геометрической прогрессии (в нашем случае это 1) и q — это знаменатель прогрессии (в нашем случае 1/3). Следовательно частичная сумма S_n для нашего ряда равна:

Тогда сумма нашего ряда ( S ) согласно определению, данному выше, равна:

Рассмотренные выше примеры являются достаточно простыми. Обычно вычислить сумму ряда гораздо сложнее и наибольшая трудность заключается именно в нахождении частичной суммы ряда. Представленный ниже онлайн калькулятор, созданный на основе системы Wolfram Alpha, позволяет вычислять сумму довольно сложных рядов. Более того, если калькулятор не смог найти сумму ряда, вероятно, что данный ряд является расходящимся (в этом случае калькулятор выводит сообщение типа "sum diverges"), т.е. данный калькулятор также косвенно помогает получить представление о сходимости рядов.

Для нахождения суммы Вашего ряда, необходимо указать переменную ряда, нижний и верхний пределы суммирования, а также выражение для n -ого слагаемого ряда (т.е. собственно выражение для самого ряда).