В теории вероятностей и статистике, о наборе случайных величин говорят, что они являются независимыми (и) одинаково распределёнными, если каждая из них имеет такое же распределение, что и другие, и все величины являются независимыми в совокупности. Фраза «независимые одинаково распределённые» часто сокращается аббревиатурой i.i.d. (от англ. independent and identically-distributed ), иногда — «н.о.р».
Применения [ править | править код ]
Предположение о том, что случайные величины являются независимыми и одинаково распределёнными широко используется в теории вероятностей и статистике, так как позволяет сильно упростить теоретические выкладки и доказывать интересные результаты.
Одна из ключевых теорем теории вероятностей — центральная предельная теорема — утверждает, что если x 1 , x 2 , … , x n <displaystyle x_<1>,x_<2>,ldots ,x_
Сходимость последовательности случайных величин по вероятности
Предельные теоремы теории вероятностей
Определение. Последовательность x1, x2, …., xn …сходится к числу а по вероятности, если для любого e > 0 выполняется
 |
Эту сходимость обозначают так:
Пусть существуют Еxn = an. Рассмотрим следующую разность
 |
Нас интересует поведение 
при 
 |
Определение. Будем говорить, что последовательность случайных величин x1, x2, …., xn … подчиняется закону больших чисел (ЗБЧ), если
Замечание. Пусть x1, x2, …., xn — случайные величины, имеющие одинаковое распределение. Тогда an = а. Пусть x1, x2, …., xn интерпретируются как измерения некоторой физической величины а. Так как точные измерения невозможны, то x1, x2, …, xn — последовательность случайных величин, тогда ЗБЧ означает, что среднее арифметическое первых п измерений хорошо аппроксимирует а:
 |
Теорема 1 (неравенство Чебышева). Для любой случайной величины x , имеющей математическое ожидание (Еx 0 имеет место неравенство
 |
Доказательство. Рассмотрим следующую случайную величину h
 |
Тогда
 |
поскольку
С другой стороны
Eh = 1×P( êx-Ex ê³ e ) + 0 × P( êx-Ex ê 2 , i = 1, 2, . 
= S n i=1 xi . Тогда для любого e > 0 имеет место
 |
В частности,
 |
Доказательство. Поскольку
то, воспользовавшись неравенством Чебышева мы получим требуемое.
Пример. Технический контролер проверяет партию однотипных приборов. С вероятностью 0,01 прибор может иметь дефект A и, независимо от этого, с вероятностью 0,02 — дефект В. В каких границах будет заключено практически наверняка число бракованных изделий в партии из 1000 штук, если за вероятность практической достоверности принимается 0,997?
Обозначим через mп—число бракованных изделий в партии из п = 1000 штук, Еmп = пр, где р—вероятность иметь дефекта для одного прибора:
 |
0,01 × 0,98 + 0,02 × 0,99 + 0, 01 × 0,02 @ 0,03.
Еmп = 1000 × 0,03 = 30, Dmп = npq = 30 × 0,97 = 29,1.
 |
Из неравенства Чебышева, получим
 |
и по условию задачи, правая часть этого неравенства превосходит 0,997, т.е.
 |
Отсюда найдем e: минимальное e » 98. Тогда из | mп — 30 |
Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:
Лучшие изречения: Да какие ж вы математики, если запаролиться нормально не можете. 8544 — 
| 7399 — 
или читать все.
91.146.8.87 © studopedia.ru Не является автором материалов, которые размещены. Но предоставляет возможность бесплатного использования. Есть нарушение авторского права? Напишите нам | Обратная связь.
Отключите adBlock!
и обновите страницу (F5)
очень нужно
Выясним сначала, когда выполнен ЗБЧ для последовательности независимых и одинаково распределённых случайных величин.
ЗБЧ утверждает, что среднее арифметическое большого числа случайных слагаемых «стабилизируется» с ростом этого числа. Как бы сильно каждая случайная величина не отклонялась от своего среднего значения, при суммировании эти отклонения «взаимно гасятся», так что среднее арифметическое приближается к постоянной величине.
В дальнейшем мы увидим, что требование конечности второго момента (или дисперсии) связано исключительно со способом доказательства, и что утверждение останется верным, если требовать существования только первого момента.
Обозначим через сумму первых случайных величин. Из линейности математического ожидания получим:
так как . Заметим, что дисперсия суммы превратилась в сумму дисперсий в силу попарной независимости слагаемых, из-за которой все ковариации в свойстве 14 обратились в нуль при . Сумма же дисперсий слагаемых равняется из-за их одинаковой распределённости.
а) если , т.е. если при ;
б) если независимы и (т.е. если )
в) если независимы, одинаково распределены и имеют конечную дисперсию (ЗБЧ Чебышёва).
Сильная зависимость слагаемых приводит обычно к невыполнению ЗБЧ. Если, например, и , то , и свойство (23) не выполнено ( убедиться!). В этом случае ; для одинаково распределённых слагаемых дисперсия суммы быстрее расти не может.
Следующее утверждение мы докажем чуть позже. Сравните его условия с условиями ЗБЧ Чебышёва.
Получим в качестве следствия из ЗБЧ Чебышёва закон больших чисел Я. Бернулли. В отличие от ЗБЧ Чебышёва, описывающего предельное поведение среднего арифметического случайных величин с произвольными распределениями, ЗБЧ Бернулли имеет дело лишь со схемой Бернулли.
и , . Осталось воспользоваться ЗБЧ в форме Чебышёва и неравенством (25).
Загрузка...
