При каких n дробь сократима

рТЙ ЛБЛЙИ ГЕМЩИ n УПЛТБФЙНЩ ДТПВЙ
Б) ; В) ?

тЕЫЕОЙЕ

Б) фБЛ ЛБЛ ( n ² + 2 n + 4, n 2 + n + 3) = ( n + 1, 3), ФП ДТПВШ ВХДЕФ УПЛТБФЙНБ, ЛПЗДБ ( n + 1, 3) = 3.

В) фБЛ ЛБЛ ( n ³ – n ² – 3 n , n ² – n + 3) = ( n ² – n + 3, 6 n ), ФП ДТПВШ НПЦОП УПЛТБФЙФШ МЙВП ОБ 2, МЙВП ОБ 3, МЙВП ОБ ОЕЛПФПТЩК ДЕМЙФЕМШ ЮЙУМБ n . рЕТЧЩК УМХЮБК ОЕЧПЪНПЦЕО ФБЛ ЛБЛ ЮЙУМП n 2 – n + 3 ЧУЕЗДБ ОЕЮЈФОП. чП ЧФПТПН УМХЮБЕ n ДПМЦОП ТБЧОСФШУС 3 k ЙМЙ 3 k + 1. ч ФТЕФШЕН УМХЮБЕ
( n ² – n + 3, n ) = ( n , 3), РПЬФПНХ n УОПЧБ ДПМЦОП ВЩФШ ЮЙУМПН ЧЙДБ 3 k .

пФЧЕФ

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Данная статья посвящена рассмотрению сократимых и несократимых дробей. Приведем примеры, дадим определения сократимых и несократимых дробей. Выясним, как определить, можно ли сократить конкретную дробь.

Сократимые и несократимые дроби

Все обыкновенные дроби вида a b можно разделить на сократимые и несократимые. Разделение объясняется соответственно наличием или отсутствием общих для числителя и знаменателя дроби делителей. Приведем определения.

Определение. Сократимая дробь

Обыкновенная сократимая дробь — такая дробь, для числителя и знаменателя которой существует положительный общий делитель, отличный от единицы.

Обыкновенная несократимая дробь — такая дробь, числитель и знаменатель которой являются взаимно простыми числами, то есть имеют единственный общий положительный делитель, равный единице.

Приведем примеры сократимых и несократимых дробей.

Примеры сократимых дробей

Дробь 15 45 — сократимая. Действительно, как числитель, так и знаменатель можно разделить на 5. Другими словами, числитель и знаменатель этой дроби имеют общий делитель.

Другие примеры сократимых дробей — 12 12 , 3 66 , 8 32

Дробь 7 12 — несократимая, так как ее числитель и знаменатель являются взаимно простыми числами.

Другие несократимые дроби — 9 14 , 11 12 , 8 33 .

Проверка дроби на сократимость

Часто с первого взгляда на конкретную дробь сложно сказать, является она сократимой или несократимой. Конечно, исключения составляют простые случаи, когда по признакам делимости сразу можно выявить общий делитель числителя и знаменателя.

К примеру, по признаку делимости на 10 сразу можно сказать, что дробь 470 540 сократима, так как числитель и знаменатель имеют общий делитель, равный 10 . Так же, дробь 384 428 является сократимой по признаку делимости на 2.

Но как быть с более сложными случаями, когда признаки делимости не могут помочь? Например, когда нужно узнать, сократима ли дробь 288329 342439 . Для таких случаев существует общий метод проверки дроби на сократимость.

Правило проверки дроби на сократимость

Вычисляем наибольший общий делитель числителя и знаменателя дроби.

1. Если НОД равен единице, то дробь является несократимой.
2. Если НОД отличен от единицы, то дробь сократима.

Посмотрим на практическое применение этого правила.

Пример. Сократима ли дробь?

Выясним, сократима ли обыкновенная дробь 495 539 . Для этого вычислим НОД числителя и знаменателя, применяя алгоритм Евклида.

539 = 495 · 1 + 44 495 = 44 · 11 + 11 44 = 11 · 4

Отсюда Н О Д ( 495 , 539 ) = 11 . Следовательно, числитель и знаменатель дроби не являются взаимно простыми числами, и дробь сократима.

В математических выкладках, если при вычислениях получилась сократимая дробь, принято производить ее сокращение и записывать в виде несократимой дроби.

При каких натуральных n дробь $$ frac$$ несократима?

задан 3 Авг ’14 10:49

Vipz3
465 ● 4 ● 51
85&#037 принятых

1 ответ

отвечен 3 Авг ’14 11:32

Если n нечётно, то дробь сократима, так как числитель и знаменатель одновременно чётны. Равенство $%(n^2+1,2n)=(2n,1)$% для этого случая неверно. Если же n чётно, то числа $%n^2+1$% и $%2n$% взаимно просты. В этом случае дробь будет несократимой.

Здравствуйте

Математика — это совместно редактируемый форум вопросов и ответов для начинающих и опытных математиков, с особенным акцентом на компьютерные науки.