Признак кратности на 7

Признак делимости на 7 похож на признак делимости на 19 — делимость числа на 7 зависит от соотношения между последней цифры в записи числа и остальными его цифрами.

Признак делимости на 7

Натуральное число делится на 7, если разность — это число без его последней цифры минус удвоенная последняя цифра — делится на 7.

Схематично признак делимости на 7 трёхзначного числа можно изобразить так:

Для шестизначного числа делимость на 7 схематично выглядит так:

Определить, какие из чисел делятся на 7:

1) 574: 57-2∙4=57-8=49.

49 делится на 7, значит, 574 также делится на 7.

2) 891: 89-2∙1=89-2=87.

87 не делится на 7, следовательно, 891 также не делится на 7.

3) 1519: 151-2∙9=151-18=133,

7 кратно 7, поэтому 1519 также кратно 7.

4) 5483: 548-2∙3=548-6=542,

50 не делится на 7, значит, 5483 также не делится на 7.

5) 6678: 667-2∙8=667-16=651,

Так как 63 делится на 7, то и 6678 делится на 7.

6) 15015: 1501-2∙5=1501-10=1491,

14-2∙7=0. Так как 0 делится на 7, 15015 также делится на 7.

7) 457947: 45794-2∙7=45794-14=45780,

42 делится на 7, следовательно, 457947 также кратно 7.

Ответ: 574; 1519; 6678; 15015; 457947.

Изучаем математику вместе!

Термин «знакочередующаяся» означает, что первое слагаемое суммы берётся со знаком «плюс», второе — со знаком «минус», третье — опять со знаком «плюс» и т.д. То есть знаки перед слагаемыми чередуются.

Решение: а) 626647. Разбиение этого числа на трёхзначные грани выглядит так: 626|647. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 626 − 647 = −21. Так как −21 делится на 7, то и число 626647 делится на 7. Ответ: делится.

б) 23013. Разбиваем число на трёхзначные грани: 23|013. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа есть 23 − 13 = 10. Число 10 на 7 не делится, поэтому число 23013 не делится на 7. Ответ: не делится.

в) 99148. Разбиваем число на трёхзначные грани: 99|148. Знакочередующаяся сумма трёхзначных граней этого числа равна 99 − 148 = −49. Число −49 делится на 7, поэтому и число 99148 делится на 7. Ответ: делится.

Доказательство этого признака смотрите в этой статье.

Что такое делимость?

Признаки делимости позволяют просто и быстро определить, возможно ли полностью поделить одно число на другое. А делимость это и есть возможность поделить одно число на друге без остатка.

Признаки делимости

Признаки делимости удобнее изучать, разбив возможные делители на группы. Поступим так же и рассмотрим делимость на каждую из групп в отдельности.

На 2,4,8

Эти числа в рассматриваемом вопросе сгруппированы, так как их признаки очень похожи друг на друга.

• Число делится на 2 только если является четным.
• Число делится на 4, если последние две цифры числа делятся на 4 или последние две цифры 00. Например, число 130 не делится на 4, так как 30 не делится на 4. А вот уже число 1400 можно поделить на 4.
• Число делится на 8, если последние две цифры числа нули или делятся на 8

На 3 и 9

Число делится на 3, если сумма цифр этого числа делится на 3. Рассмотрим число: 804. Оно делится на 3, поскольку сумма цифр 8+0+4=12 – делится на 3.

Число делится на 9, если сумма цифр числа делится на 9. Признак похож на признак делимости на число 3.
Интересно: Если число делится на 9, то оно делится и на 3. При этом, число, которое делится на 3 не всегда делится на 9.

Число делится на 5, если последняя цифра числа равняется 5 или нулю. Это наиболее известный признак делимости, наряду с делимостью на 2.

Чтобы число делилось на 6, оно должно делиться на 2 и 3, так как 2*3=6. Поэтому признак делимости на 6 это объединение признаков деления на 2 и на 3.

То есть: число делится на 6, если оно четное и сумма всех его цифр делится на 3

Самые сложные в восприятии признаки делимости на 7 и на 11. Число делится на 7, если разность сумм четных цифр числа и нечетных цифр чисел делится на 7.

Приведем пример: число 469 делится на 7. Почему? Сумма цифр на нечетных позициях 4+9=13. Сумма чисел на четных позициях 6. Разность получившихся сумм: 13-6=7, а это число делится на 7. Поэтому все число 469 делится на 7

На 10

Число делится на 10 только если последней цифрой числа является 0

По тому же принципу определяют делимость числа на 100, 1000 и так далее. Если у числа два нуля на конце, то оно делится на 100, если три нуля на конце, число делится на 1000 и так далее.

На 11

Число делится на 11 только, если разность сумм четных и нечетных цифр числа делится на 11 или равняется нулю Приведем пример:

Число 2035 делится на 11. Сумма цифр, стоящих на четных позициях: 2+3=5. Сумма нечетных цифр: 0+5=5. Разность полученных выражений:5-5=0, значит число делится на 11.

Нельзя путать понятия четной позиции и четного числа. Цифра это знак, который используется для записи чисел. Число это набор цифр, каждая из которых стоит на своей позиции. В числе 127 всего три цифры. Цифра 1 стоит на первой позиции, цифра 2 на второй и так далее. На четной позиции находится цифра 2. На нечетных позициях цифры 1 и 7.

Чтобы быстрее запомнить все группы можно свести в таблицу признаков делимости чисел.

Признаки

Запомни

Признак делимости на 2

Число делится на 2, если его последняя цифра делится на 2 или является нулём.

Признак делимости на 4

Число делится на 4, если две его последние цифры нули или образуют число, делящееся на 4.

Признак делимости на 8

Число делится на 8, если три последние его цифры нули или образуют число, делящееся на 8.

Признак делимости на 3

Число делится на 3, если сумма всех его цифр делится на 3.

Признак делимости на 6

Число делится на 6, если оно делится одновременно на 2 и на 3.

Признак делимости на 9

Число делится на 9, если сумма всех его цифр делится на 9.

Признак делимости на 5

Число делится на 5, если его последняя цифра 5 или 0.

Признак делимости на 25

Число делится на 25, если его две последние цифры нули или образуют число, которое делится на 25.

Признак делимости на 10,100 и 1000.

10 делятся нацело только те числа, последняя цифра которых нуль.

На 100 делятся нацело только те числа, две последние цифры которых нули.

На 1000 делятся нацело только те числа, три последние цифры нули.

Признак делимости на 11

Число делится на 11, если сумма цифр, которые стоят на четных местах равна сумме цифр, стоящих на нечетных местах, либо отличается от неё на 11.

Что мы узнали?

Мы поговорили о признаках делимости. Расписали все существующие признаки по группам. В особо сложных ситуациях привели примеры.