Произведение членов арифметической прогрессии

Арифметическая прогрессия — это числовая последовательность a₁, a₂, . , a_n, . , для которой для каждого натурального n выполняется равенство:

где d – это разность арифметической прогрессии.

Пример: последовательность чисел 3, 7, 11, 15, 19, . является арифметической прогрессией с разностью d = 4.

Арифметическая прогрессия бывает трех видов:

1. Возрастающая — арифметическая прогрессия, у которой разность является положительной Пример: последовательность чисел 2, 5, 8, 11, 14, . является возрастающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = 3.
2. Убывающая— арифметическая прогрессия, у которой разность является отрицательной Пример: последовательность чисел 100, 98, 96, 94, 92, . является убывающей арифметической прогрессией, так как ее разность d = –2.
3. Стационарная— арифметическая прогрессия, у которой разность равно нулю Пример: последовательность чисел 23, 23, 23, 23, 23, . является стационарной арифметической прогрессией, так как ее разность d = 0.

Основные формулы арифметической прогрессии

Члены арифметической прогрессии

Общая формула для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности:

Следующий член арифметической прогрессии можно найти по предыдущему члену и разности:

Предыдущий член арифметической прогрессии можно найти по следующему члену и разности:

Также член арифметической прогрессии можно найти, если известны следующий и предыдущий члены:

Сумма арифметической прогрессии

Сумма первых n членов арифметической прогрессии равна

Также сумму можно вычислить, используя другую формулу:

Решение задач на арифметическую прогрессию

Рассмотрим несколько типичных задач, посвященных арифметической прогрессии.

Доказать, что последовательность, заданная формулой a_n = 5 + 4n, является арифметической.

Чтобы доказать, что последовательность является арифметической, достаточно получить следующий член этой последовательности и найти разность.

a_n+1 = 5 + 4(n + 1) = 5 + 4n + 4 = 9 + 4n

d = a_n+1 — a_n = 9 + 4n — (5 + 4n) = 9 + 4n — 5 — 4n = 4

Поскольку разность является числом, значит она будет одинакова для всех членов данной последовательности. Поэтому последовательность является арифметической прогрессией.

Найти 20 член арифметической прогрессии и сумму первых десяти, если a₁ = -18 и d = 5

a₂₀ = a₁ + d ⋅ 19 = –18 + 5 ⋅ 19 = 77

S₁₀ = (2 ⋅ (–18) + 5 ⋅ 9) ⋅ 10 / 2 = 45

Число 85 является членом арифметической прогрессии 8, 15, 22, 29, . . Найти номер этого члена.

Пусть n — номер, который нужно найти.

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии, можно получить n

В арифметической прогрессии a₈ = 22 и a₁₄ = 34. Найти формулу для n-ого члена.

Применив формулу для вычисления n-ого члена арифметической прогрессии по первому члену и разности находим:

Подставив в эти выражения a₈ и a₁₄ получаем систему уравнений:

Вычитая из первого уравнения второе, можно вычислить d:

Подставляем d в первое уравнение для получения a₁:

Таким образом, формула для n-ого члена арифметической прогрессии выглядит так:

a_n = 8 + 2 ⋅ (n — 1) = 8 + 2n — 2 = 6 + 2n

Найти количество членов арифметической прогрессии 1, 3, 5, 7, . , если их сумма равна 81.

Из заданной арифметической прогрессии получаем a₁ и d:

И подставляем известные данные в формулу суммы:

Часто, при решении задач, связанных с наблюдениями и присвоением значения определенному событию за определенный промежуток времени, получается ряд чисел, который именуется арифметической прогрессией.

Одна из главных отличительных особенностей — такая математическая модель имеет закономерность, по которой можно вычислить любой неизвестный член, что упрощает прогнозирование при вычислении физических ситуаций.

Примерами повседневного использования могут являться наблюдение за температурой воздуха, прогнозирование расходов с занесением результатов в таблицу и др.

Онлайн-калькулятор арифметической прогрессии

Определение и примеры арифметической прогрессии

Это последовательность из чисел, где каждое последующее число ряда (начиная со второго) увеличивается или уменьшается на определенную сумму, являющуюся константой.

Кроме этого для описания используется ряд сопутствующих терминов и определений. Членом (а_n) называется единичное число из последовательности.

Разностью (d) называется фиксированное число, на которое увеличивается или уменьшается последующее число прогрессии.

Кроме этого, существуют виды таких рядов:

• возрастающая – числа ряда увеличиваются по своему значению;
• убывающая – каждое последующее число ряда уменьшается.

В качестве примера представим последовательность чисел «3, 9, 15, 21, 27». Данный случай – этот ряд чисел попадает под характеристику арифметической прогрессии. Этот вывод делается в том случае, когда разница между членами ряда фиксирована и равняется 6.

Виды арифметической (алгебраической) прогрессии

Разновидности строятся на основании характеристики разности (d), а именно на основании отличия последней от нуля.

Таким образом, можно встретить определенные вариации:

• разность d 0 – это предполагает, что каждый член в ряду будет больше предыдущего, а прогрессию будут называть возрастающей;
• при d=0 ряд тоже будет иметь свойства прогрессии, которую именуют стационарной, и все члены будут одинаковыми (не будут изменяться).

Если прогрессия не изменяется с каждым шагом на одну и ту же разность, то эта прогрессия непостоянная и арифметической не является.

Формулы арифметической прогрессии

Одно из важнейших свойств заключается в возможности вычисления любого числа конкретного места ряда.

Чтобы решать это, необходима формула, показывающая, как находится член арифметической прогрессии. В общем виде она будет выглядеть, как значение предыдущего числа в ряду (a_n-1), к которому прибавляют разность (d):

Также может возникнуть задача, когда надо просуммировать все числа ряда арифметической прогрессии (сумма членов). Если их малое количество, то можно посчитать это вручную, но если количество чисел перевалит за сотню, то проще будет воспользоваться специальной формулой для обработки.

Итак, нам понадобится значение первого числа в ряду (a₁) и последнего (a_n), а также информация об общем количестве чисел в ряду. Рекуррентная формула, показывающая, как искать сумму, будет выглядеть в таком случае следующим образом:

Произведение членов арифметической прогрессии можно находить по похожей формуле:

где, P_n – произведение, b₁ и b_n – соответственно первое и последнее числа, а n – количество членов.

Отдельно следует коснуться такого понятия, как характеристическое свойство прогрессии. Оно сводится к выполнению определенного условия для каждого элемента:

Примеры задач с решением

Рассмотрим как решать задачи на заданную тему.

Пример 1

Требуется вычислить 574 член в ряду арифметической прогрессии, первые три члена которой «8, 15, 22…».

Вариант рассуждений по примеру 1. Для нахождения любого конкретного элемента ряда нам необходима информация о значении первого члена (a₁) и о разности (d). Чтобы вычислить разность, вычитаем из второго члена ряда первый (15 – 8) и получаем d = 7. Теперь мы можем считать по формуле:

Подставляя полученные значения, получим выражение вида a₅₇₄ = 8 + (574-1) * 7.

После вычисления получаем ответ: a₅₇₄ = 4019.

Пример 2

Требуется вычислить 544 член ряда, являющийся арифметической прогрессией, при условии, что 154-ый член равен 17, а разность (d) равна 8.

Вариант рассуждений по примеру 2. Пользоваться в данной ситуации мы будем формулой из предыдущего примера:

Подставляя известные значения, получаем выражение – а₅₄₄ = 17 + (544 — 1) * 8.

Вычисляя, получаем ответ а₅₄₄ = 4361.

Пример 3

Для подготовки к экзамену по биологии студенту Смирнову необходимо выучить 730 вопросов (включая загадки). Известно, что он весьма обеспокоен и по мере приближения даты экзамена учит ежедневно на 27 вопросов больше, чем в предыдущий день. Друг Смирнова выяснил, что тот в первый день выучил всего 17 вопросов.

Требуется выяснить, сколько времени у студента ушло на подготовку.

Вариант рассуждений по примеру 3. Очевидно, что случай с подготовкой студента к экзамену решается через формулы арифметической прогрессией (поскольку присутствует фиксированная разность d = 17). Производим подстановку известных данных:

После подстановки получаем выражение: 730 = 17 + (n — 1) * 27.

После вычислений определяем ответ – 27 дней.

Арифметическая прогрессия является наиболее простой из всех числовых зависимостей. Использование описанных формул позволит намного ускорить вычисления в задачах, где это требуется.

Кроме этого, для упрощения можно использовать онлайн калькулятор. В школе данную тему изучают в программе за 9 класс, а основные задания касаются нахождения членов и сумм.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Матвеев В.Ю., Чирский В.Г.

Доказано что ряд, члены которого являются произведениями членов арифметической прогрессии отличен от 0 в бесконечном множестве p. Используется полиадический анализ и аппроксимация Эрмита-Паде для обобщенных гипергеометрических рядов.The article describes that the number of a certain type is different from 0 in the endless variety of fields. Polyadic analysis and approximation of Hermite-Pade for generalized hypergeometric series is used.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Матвеев В.Ю., Чирский В.Г.

Текст научной работы на тему «О ряде из произведений членов арифметической прогрессии»

О РЯДЕ ИЗ ПРОИЗВЕДЕНИЙ

ЧЛЕНОВ АРИФМЕТИЧЕСКОЙ ПРОГРЕССИИ

В.Ю. Матвеев, В.Г. Чирский

Аннотация. Доказано что ряд, члены которого являются произведениями членов арифметической прогрессии отличен от 0 в бесконечном множестве ир. Используется полиадический анализ и аппроксимация Эрмита-Паде для обобщенных гипергеометрических рядов.

Ключевые слова: полиадические числа,, аппроксимация Эрмита-Паде.

Summary. The article describes that the number of a certain type is different from 0 in the endless variety of fields. Polyadic analysis and approximation of Hermite-Pade for generalized hypergeometric series is used.

Keywords: polyadic numbers, Hermite-Pade approximation.

ля простого числа p пусть Г, обозначает поле р -адических чисел. Пусть a,b6 □, (a,b) = 1. Рассмотрим задачу об арифметической природе ряда

Отметим, во-первых, что этот ряд сходится в любом поле Пр, где р Ь, так как для любого tе □ из неравенства п > р следует, что а(а + Ь). (а + Ь(п-1)) делится на р’.

Рассматриваемый ряд (1) можно представить в виде

4 = 1 + ¿1 (1 +1). (1 + (п-1))Ьп, (2)

где 1 = а / Ь. В [1] была рассмотрена задача об арифметической природе ряда (2), а в [2] было доказано, что для любого многочлена Р(х), Р(х)е □ [х], отличного от тождественного нуля, существует бесконечное множество простых чисел р таких, что в поле □ справедливо неравенство Р(4) * 0 , где ряд 4 рассматривается, как его сумма в поле □ .

В настоящей работе использован другой подход, основанный на применении аппроксимаций Эрмита-Паде, построенных в работе [3] . Аналогичный подход использован в работе [4].

Теорема. Существует бесконечное множество простых чисел p таких, что в поле □ p выполнено неравенство

Доказательство. Для любого аеО обозначим (а )0 = 1, (а> n = а (а +1> „.(а + (n -1>) ,

Как и в работе [3], обозначим

F(а, р,z> = jT (а>n(в >n zn

fo( z> = £ (X >nZn = F (X,1, z> .

Вновь используя обозначения из [5], положим а1 = Х , а2 = 1 и для любого N е □ определим числа г и 5 равенствами

N = г + 1, N = 25 + г, где г = 1 или г = 2.

Для любого N>3 положим аN =аг + 5 , что означает, что

а 25 +1 = Х + 5 а 25+2 = 1 + 5 . (7)

fN(г) = Е(а N+1,а N+2, г), (8)

ин (г) =а 1 . а нгн-1/н (г), N >2, (9)

«о(г) = Мг), Щ(г) = А(г). (10)

Из (7), (8), (9) получаем

и 2 5+1 (г) = а 1. а 2 525 Е (а 2^, а 2 5+3, г) = (X) 5(1 + 5, X +1 + 5, г), (11)

и 2 5+2 (г) = а 1 .а 2 5+2 г2 (а ^3, а 2 5+4, г) = (X) 5+ ■ (5 + 1)! Е (X +1 + 5,2 + 5, г). (12)

Лемма 1. Для любого Nе □ существуют многочлены РЫ0(г), РМ1(г) с целыми коэффициентами такие, что справедливы равенства

UN ( z > = PN ,0 ( z >u 0 ( z > + PN,1 ( z >U1( z > , UN+2 (z> = UN+1(z>-аN+1 zUN(z> , PN+2,i (z> = PN+1,i (z> " аN+1 zPN,i (z> , ‘ = 0 , 1 ,

Лемма представляет собой следствие из замечания в конце статьи [3].

Пусть с02 > 1 + С0, С0 > | X | +1. (16)

Лемма 2. Для любого 5 е □ и для N = 25 + 1, N = 25 + 2 выполнены неравенства Н (Р„, (г)) Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

С0251 (С0 + 1) . (С„ + 5)

= С 02 5+1( С0 +1). (С 0 + 5 +1).

Используя (14), (7), (16), (17) и индуктивное предположение, получаем

Н(Р2,+4,,) = Н (Р25+3,, а2,+3 г Р2,+2>, ) в -55

где произведение в левой части (20) взято по всем простым числам р , р Ь, удовлетворяющим неравенствам

1п Г(я + а) = ^^ + а — 2 ) л — л + 1п>/2ж + О ^1 ^, л .

Из (23)-(25) вытекает утверждение леммы 3. Лемма 4. При я^а 2 выполнено неравенство

Пк(b)|p Не можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

Выше мы выяснили, что среди чисел а,а + Ь. а + Ьэ на число р’ делятся

ровно —— чисел. Поэтому

| а(а + Ь). (а + Ь.5)|р = р

где произведение в левой части (39) взято по всем простым p , p b, удовлетворяющим (21).

Так как, ввиду (10), (13),

Un (b) = PN,o(b)fo(b) + Pn,1 (b) f1(b)

и по лемме 4 при s^o 2

где произведение в левой части взято по всем p , удовлетворяющим условиям (21), при s^o3 из (39), (40) следует, что при некотором p , удовлетворяющем (21), p b имеет место неравенство

вопреки сделанному предположению.

Итак, доказано, что если s^o3, то в промежутке ^e41"", a + bsJ есть простое число p такое, что в поле □ выполнено неравенство (3).

Рассматриваем теперь последовательность sk 6 □ такую, что 3 и для каждого k^1 выполняются неравенства

При этом отрезки

не пересекаются и в каждом из них есть простое число p такое, что выполнено неравенство (3).

СПИСОК ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. Чирский В.Г. О глобальных соотношениях // Матем. заметки. — Т. 48. — Вып. 2. — 1990. -С. 123-127.

2. Bertrand D., Chirskii V.G., Yebbou Y. Effective estimates for global relations on Euler — type series // Annal. Fac. Sci Toulouse. — V. XIII. — № 2. — 2004. — P. 241-260.

3. Нестеренко Ю.В. Приближения Эрмита-Паде обобщённых гипергеометрических функций // Матем. сборник. — Т. 185. — 1994. — № 10. — С. 48-72.

4. Чирский В.Г. Об арифметических свойствах ряда Эйлера // Вестник Моск. ун-та. — Сер. 1. матем., механ. ■