Производная функции корень из x

Выводится формула из производной степенной функции $ (x^p)’ = px^ $ и свойства записи корней $ sqrt[n] = x^<frac<1>> $:

По такому принципу берется производная кубического корня:

Для удобства выведем формулу производной корня $ n $-ой степени:

Уравнение представляет собой сложную функцию, поэтому сначала берем производную от внешней функции, а затем от внутренней:

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!

Сначала находим внешнюю производную по правилу $ (cos x)’ = -sin x $, затем производную внутренней функции $ (sqrt)’ = frac<1><2sqrt> $ и перемножаем их между собой:

Найдём производную от функции игрек, равной квадратному корню из икс $y=sqrt$.

Для этого проведём стандартную процедуру вывода формулы производной.

Сначала дадим функции y, равной $f(x)$ в точке x, приращение $Δx$:

Теперь рассмотрим, чему равно приращение $y$:

Из этого следует, что:

Домножим всё полученное выражение на $(sqrt+ sqrt)$, в результате чего в числителе получается разность квадратов, равная $(x+ Δx)-x= Δx$, а дробь преображается до следующей формы:

Теперь возьмём предел полученного отношения при $Δx o 0$:

Таким образом, мы осуществили доказательство того, что производная корня из $x$ равна $frac<1><2sqrt>$:

Формула для производной от икса под знаком кубического корня выглядит подобным образом:

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

В создании этой статьи участвовала наша опытная команда редакторов и исследователей, которые проверили ее на точность и полноту.

Количество источников, использованных в этой статье: 13. Вы найдете их список внизу страницы.

Команда контент-менеджеров wikiHow тщательно следит за работой редакторов, чтобы гарантировать соответствие каждой статьи нашим высоким стандартам качества.

На курсах дифференциального исчисления вы наверняка учили правила дифференцирования основных функций, в том числе правило дифференцирования степенной функции. Однако если функция содержит квадратный или другой корень, например x <displaystyle <sqrt >> , может показаться, что данное правило не подходит. Тем не менее достаточно переписать ее в степенном виде, чтобы получить очевидный ответ. Если функция содержит несколько корней, такую подстановку можно делать сколько угодно раз и использовать правило дифференцирования сложной функции.