Содержание
Производная по времени — производная функции по отношению к времени, обычно интерпретируемая как скорость изменения значения функции. [1] Время обычно обозначается переменной t <displaystyle t> 
Содержание
Обозначения [ править | править код ]
Для обозначения производной по времени используется несколько обозначений. В дополнение к обычной (лейбницкой) нотации,
d x d t <displaystyle <frac
Очень часто, особенно в физике, используется сокращённая запись с точкой над переменной:
(так называемая ньютоновская нотация).
Высшие производные по времени обозначаются так:
d 2 x d t 2 <displaystyle <frac <2>x><2>>>>
или в сокращённом виде: x ¨ <displaystyle <ddot
В случае производных по времени более высоких порядков ньютоновская нотация, как правило, не используется.
В более общем случае, производная по времени от вектора:
V → = [ v 1 , v 2 , v 3 , ⋯ ] , <displaystyle <vec
ight] ,>
определяется как вектор с составляющими, которые являются производными соответствующих компонент исходного вектора. То есть
d V → d t = [ d v 1 d t , d v 2 d t , d v 3 d t , ⋯ ] . <displaystyle <frac
ight] .>
Применение в физике [ править | править код ]
Производные по времени являются одним из ключевых понятий в физике. Например, для радиус-вектора x <displaystyle x>
Большое число уравнений в физике является производной по времени от вектора, например скорости или смещения. Многие другие фундаментальные величины в науке соотносятся как производные по времени друг от друга:
- сила является производной по времени от импульса
- мощность является производной по времени от энергии
- электрический ток является производной по времени от электрического заряда
Применение в экономике [ править | править код ]
В экономике многие теоретические модели эволюции различных экономических переменных используют производные по времени.
Теорема в интегральной форме
Пусть механическая система переместилась из некоторого начального положения вконечное.
Тогда, интегрируя равенство (26) в пределах, соответствующих данному перемещению, получаем
. (28)
Соотношение (28) выражает теорему об изменении кинетической энергии системы в интегральной (конечной) форме:
Изменение кинетической энергии механической системы на некотором конечном перемещении равно сумме работ всех внешних и внутренних сил, действующих на точки системы, на этом перемещении.
Подчеркнем, что в отличие от теорем об изменении количества движения и кинетического момента механической системы, в теорему об изменении кинетической энергии входят внутренние силы.
В этом состоит принципиальное отличие этой теоремы от других.
В частном случае, когда механической системой будет абсолютно твердое тело, работа всех внутренних сил равна нулю, и уравнения (27), (28) принимают вид
, 
,
.
Для материальной точки теорема об изменении кинетической энергии будет выражаться уравнениями
, 
,
где dА, А — соответственно элементарная работа и полная работа всех сил, приложенных к точке.
| | | следующая лекция ==> | |
| Исходными уравнениями при доказательстве теоремы являются дифференциальные уравнения движения механической системы. | | | Работа сил сопротивления при качании тела без скольжения |
Дата добавления: 2019-04-03 ; просмотров: 130 ; ЗАКАЗАТЬ НАПИСАНИЕ РАБОТЫ
Положим, что через участок электрической цепи (приемник энергии) под воздействием приложенного напряжения u проходит электрический заряд q. Совершаемая при этом элементарная работа или, что то же, поступающая в приемник элементарная энергия равна
Производная энергии по времени, т.е. скорость поступления в цепь электрической энергии в данный момент времени, представляет собой мгновенную мощность. Следовательно, мгновенная мощность, поступающая в приемник, равна произведению мгновенных значений напряжения и тока i.
Загрузка...
