Провести общую касательную к двум данным окружностям

у РПНПЭША ГЙТЛХМС Й МЙОЕКЛЙ РПУФТПКФЕ ПВЭЙЕ ЛБУБФЕМШОЩЕ Л ДЧХН ДБООЩН ПЛТХЦОПУФСН.

рПДУЛБЪЛБ

уЧЕДЙФЕ ЪБДБЮХ Л РПУФТПЕОЙА РТСНПХЗПМШОПЗП ФТЕХЗПМШОЙЛБ РП ЗЙРПФЕОХЪЕ Й ЛБФЕФХ (ЙМЙ РТЙНЕОЙФЕ ЗПНПФЕФЙА).

тЕЫЕОЙЕ

рХУФШ O 1 Й O 2 — ГЕОФТЩ ПЛТХЦОПУФЕК ТБДЙХУПЧ R Й r ( R > r ). рТЕДРПМПЦЙН, ЮФП ОЕЛПФПТБС РТСНБС ЛБУБЕФУС ПЛТХЦОПУФЕК Ч ФПЮЛБИ A Й B УППФЧЕФУФЧЕООП, РТЙЮЈН ЬФЙ ФПЮЛЙ МЕЦБФ РП ПДОХ УФПТПОХ ПФ РТСНПК O 1 O 2 . пРХУФЙН РЕТРЕОДЙЛХМСТ O 2 H ЙЪ ГЕОФТБ НЕОШЫЕК ПЛТХЦОПУФЙ ОБ ТБДЙХУ O 1 A ВПМШЫЕК ПЛТХЦОПУФЙ, РТПЧЕДЈООЩК Ч ФПЮЛХ ЛБУБОЙС. фПЗДБ O 1 ABO 2 — РТСНПХЗПМШОЙЛ. ч РТСНПХЗПМШОПН ФТЕХЗПМШОЙЛЕ O 1 HO 2 ЙЪЧЕУФОЩ ЛБФЕФ O 1 H = R — r Й ЗЙРПФЕОХЪБ O 1 O 2 .

пФУАДБ ЧЩФЕЛБЕФ УМЕДХАЭЕЕ РПУФТПЕОЙЕ. рТСНПХЗПМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ O 1 HO 2 УФТПЙН РП ЛБФЕФХ R — r Й ЗЙРПФЕОХЪЕ O 1 O 2 . рТПДПМЦЕОЙЕ ЛБФЕФБ O 1 H ЪБ ФПЮЛХ H ЕУФШ ЙУЛПНБС ФПЮЛБ ЛБУБОЙС A . юЕТЕЪ ФПЮЛХ A РТПЧПДЙН РТСНХА, РЕТРЕОДЙЛХМСТОХА O 1 A , Й ПРХУЛБЕН ОБ ОЕЈ РЕТРЕОДЙЛХМСТ O 2 B ЙЪ ФПЮЛЙ O 2 .

рПУЛПМШЛХ O 1 ABO 2 — РТСНПХЗПМШОЙЛ, ФП

ъОБЮЙФ, ФПЮЛБ B МЕЦЙФ ОБ ПЛТХЦОПУФЙ У ГЕОФТПН O 2 , Б Ф.Л. O 2 B AB , ФП РТСНБС AB — ЛБУБФЕМШОБС Й Л ЬФПК ПЛТХЦОПУФЙ.

рПУЛПМШЛХ ЧПЪНПЦОЩ ТПЧОП ДЧБ РПМПЦЕОЙС ФПЮЛЙ H ПФОПУЙФЕМШОП РТСНПК O 1 O 2 , ФП ЪБДБЮБ ЙНЕЕФ ДЧБ ТЕЫЕОЙС.

рПУФТПЕОЙЕ Ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ R = r , ПЮЕЧЙДОП.

рПУФТПЕОЙЕ ПВЭЙИ ЧОХФТЕООЙИ ЛБУБФЕМШОЩИ БОБМПЗЙЮОП ЙЪМПЦЕООПНХ. пОП ПФМЙЮБЕФУС МЙЫШ ФЕН, ЮФП РТСНПХЗПМШОЩК ФТЕХЗПМШОЙЛ O 1 HO 2 УФТПЙФУС РП ЗЙРПФЕОХЪЕ O 1 O 2 Й ЛБФЕФХ R + r (Б ОЕ R — r ).

сУОП, ЮФП РПУФТПЕОЙЕ ПВЭЙИ ЧОХФТЕООЙЕ ЛБУБФЕМШОЩИ ЧПЪНПЦОП МЙЫШ Ч УМХЮБЕ, ЛПЗДБ ТБУУФПСОЙЕ НЕЦДХ ГЕОФТБНЙ ПЛТХЦОПУФЕК ОЕ НЕОШЫЕ УХННЩ ТБДЙХУПЧ. еУМЙ O 1 O 2 = r + R , ФП ПВЭБС ЧОХФТЕООСС ЛБУБФЕМШОБ ЕДЙОУФЧЕООБ (Ч ЬФПН УМХЮБЕ ПЛТХЦОПУФЙ ЛБУБАФУС ЧОЕЫОЙН ПВТБЪПН).

рХУФШ R > r . оБКДЕН ГЕОФТ ЗПНПФЕФЙЙ ДБООЩИ ПЛТХЦОПУФЕК. дМС ЬФПЗП РТПЧЕДЈН РТПЙЪЧПМШОЩК ТБДЙХУ O 1 M 1 РЕТЧПК ПЛТХЦОПУФЙ Й РБТБММЕМШОЩК ЕНХ ТБДЙХУ O 2 M 2 ЧФПТПК ПЛТХЦОПУФЙ. рТЙ ЬФПН ФПЮЛЙ M 1 Й M 2 НПЗХФ МЕЦБФШ МЙВП РП ПДОХ УФПТПОХ ПФ РТСНПК O 1 O 2 , МЙВП — РП ТБЪОЩЕ.

ч ЛБЦДПН ЙЪ ЬФЙИ УМХЮБЕЧ ЙУЛПНЩК ГЕОФТ Q ЗПНПФЕФЙЙ ЕУФШ ФПЮЛБ РЕТЕУЕЮЕОЙС РТСНЩИ M 1 M 2 Й O 1 O 2 (Ч РЕТЧПН УМХЮБЕ ЛПЬЖЖЙГЙЕОФ ЗПНПФЕФЙЙ ТБЧЕО , ЧП ЧФПТПН — ( — ).

рПУЛПМШЛХ РТЙ ЗПНПФЕФЙЙ ЛБУБФЕМШОБС РЕТЕИПДЙФ Ч ЛБУБФЕМШОХА (РТСНБС, ЙНЕАЭБС ЕДЙОУФЧЕООХА ПВЭХА ФПЮЛХ У ПЛТХЦОПУФША), ФП ДПУФБФПЮОП РТПЧЕУФЙ ЙЪ ФПЮЛЙ Q ЛБУБФЕМШОХА Л ПДОПК ЙЪ ПЛТХЦОПУФЕК. сУОП, ЮФП ПОБ ВХДЕФ ЛБУБФЕМШОПК Й ЛП ЧФПТПК.

йУФПЮОЙЛЙ Й РТЕГЕДЕОФЩ ЙУРПМШЪПЧБОЙС

рТПЕЛФ ПУХЭЕУФЧМСЕФУС РТЙ РПДДЕТЦЛЕ Й .

Решебник по геометрии за 7 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №50
к главе «§ 5. Геометрические построения».

Сначала построим окружность с центром О₁ и радиусом R₁ — R₂. Из центра О₂ второй окружности проводим касательную к этой окружности (задача № 49). Касательная касается этой окружности в точке K.

Продлим O₁K до пересечения с окружностью с центром О₁ и радиусом R₁. Прямая O₁K пересечет эту окружность в точке М. Теперь проводим касательную из точки М к окружности с центром О₂ и радиусом R₂. Таким образом, MN — первая касательная, т.к. MN ⊥ ОМ, O₂N ⊥ MN, следовательно, MN — общая касательная.

Затем строим окружность с центром в точке О₁ и радиусом R₁ + R₂ и проводим касательную к ней О₂Р. О₁Н = R₁ принадлежит О₁Р. Из точки Н проведем касательную HL к окружности с центром О₂ и радиусом R₂, таким образом, HL — вторая касательная, т.к. HL ⊥ O₂L и HL ⊥ О₁Н, следовательно, HL — общая касательная.

Рассмотрим всевозможные варианты:

1) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они не пересекаются, то касательную провести нельзя.

2) Если центр одной окружности лежит внутри другой и они касаются в одной точке, то одна касательная.

3) Если они пересекаются в двух точках, то две касательные.

4) Если единственная точка пересечения лежит между их центрами, то три касательные.

При вычерчивании контуров предметов сравнительно часто приходится строить общие касательные к двум дугам окружностей. Общая касательная к двум окружностям может быть внешней, если обе окружности расположены с одной стороны от нее, и внутренней, если окружности расположены с разных сторон касательной.

Построение общей внешней касательной к двум окружностям радиусами R и r (рисунок 47). Из центра окружности большего радиуса – точки O₁ описывают окружность радиусом R – r (рисунок 47, а). Находят середину отрезка O₂O₁ – точку O₃ и из нее проводят вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ или O₃O_1. Обе проведенные окружности пересекаются в точках A и В. Точки O₁ и B соединяют прямой и в пересечении ее с окружностью радиусом R определяют точку касания D (рисунок 47, б). Из точки O₂ параллельно прямой O₁D проводят линию до пересечения с окружностью радиусом r и получают вторую точку касания C. Прямая CD является искомой касательной. Так же строится вторая общая внешняя касательная к этим окружностям (прямая EF).

Построение общей внутренней касательной к двум окружностями радиусов R и r (рисунок 48). Из центра любой окружности, например: точки O₁, описывают окружность радиусом R + r (рисунок 48, а). Разделив отрезок O₂O₁ пополам, получают точку O₃. Из точки O₃ как из центра описывают вторую вспомогательную окружность радиусом O₃O₂ = O₃О₁ и отмечают точки A и В пересечения вспомогательных окружностей. Соединив прямой точки A и O₁ (рисунок 48, б), в пересечении ее с окружностью радиуса R получают точку касания D. Через центр окружности радиуса r проводят прямую, параллельную прямой O₁D, и в пересечении ее с заданной окружностью определяют вторую точку касания С. Прямая CD – внутренняя касательная к заданным окружностям. Аналогично строится и вторая касательная EF.

Дата добавления: 2014-11-06 ; Просмотров: 6267 ; Нарушение авторских прав? ;