Рациональные уравнения решу егэ

Содержание

1 Задание №883
2 Задание №880
- 2.1 Условие
- 2.2 Решение
3 Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Открытый банк заданий по теме рациональные уравнения. Задания B5 из ЕГЭ по математике (профильный уровень)

Задание №883

Условие

Найдите корень уравнения x=frac<3x-8>. Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

Решение

frac<1>=frac<3x-8>, при x
eq-9 получим x(x+9)=3x-8,

Больший из корней −2 .

Ответ

Задание №880

Условие

Найдите корень уравнения frac<16>=1. Если уравнение имеет более одного корня, запишите меньший из корней.

Решение

Уравнения frac<16>=1 и x^2-48=16 равносильны x^2-48
eq0. Из последнего уравнения x^2=64,

x_1=-8, x_2=8. Меньший из корней равен −8 .

Рациональное (дробное) уравнение – уравнение вида (dfrac=0) , где (P(x)) и (Q(x)) – многочлены.

I. Дробь равна нулю тогда и только тогда, когда ее числитель равен нулю, а знаменатель при этом не теряет смысла.
Таким образом, рациональное уравнение

II. Произведение двух множителей равно нулю тогда и только тогда, когда хотя бы один из них равен нулю, а второй при этом не теряет смысла.
Таким образом, (<color< ext<на общей ОДЗ функций >P(x) ext < и >Q(x)>>) уравнение

Найдите корень уравнения (dfrac<20x> <3x^2 — 7>= 1) . Если уравнение имеет более одного корня, в ответе укажите больший из них.

ОДЗ: (3x^2 — 7
eq 0) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<20x — 3x^2 + 7> <3x^2 — 7>= 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (20x — 3x^2 + 7 = 0) , что равносильно (3x^2 — 20x — 7 = 0) .

Дискриминант [D = 400 + 84 = 484 = 22^2.] Корни [x_1 = dfrac<20 + 22> <6>= 7, x_2 = dfrac<20 — 22> <6>= -dfrac<1><3>] – подходят по ОДЗ. Больший из корней равен (7) .

Найдите корень уравнения (dfrac<3x — 4> = -2) .

ОДЗ: (x
eq -43) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<3x — 4 + 2cdot(x + 43)> = 0qquadLeftrightarrowqquaddfrac<5x + 82> = 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (x = -16,4) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения (dfrac<-x — 8> = 9) .

ОДЗ: (x
eq 8) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<-x — 8 — 9cdot(x — 8)> = 0qquadLeftrightarrowqquad dfrac<-10x + 64> = 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (x = 6,4) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения (dfrac<7 + 2x> <3 + x>= 3) .

ОДЗ: (x
eq -3) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<7 + 2x — 3cdot(3 + x)> <3 + x>= 0qquadLeftrightarrowqquaddfrac<-x — 2> <3 + x>= 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (x = -2) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения (dfrac<1> <33x — 12>= dfrac<1><17 + 32x>) .

ОДЗ: (33x — 12
eq 0) и (17 + 32x
eq 0) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<1cdot(17 + 32x) — 1cdot(33x — 12)> <(33x — 12)(17 + 32x)>= 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (1cdot(17 + 32x) — 1

12) = 0) , что равносильно (-x = -29) , тогда (x = 29) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения (dfrac<1> <5x — 24>= dfrac<1><16 — 3x>) .

ОДЗ: (5x — 24
eq 0) и (16 — 3x
eq 0) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<1cdot(16 — 3x) — 1cdot(5x — 24)> <(5x — 24)(16 — 3x)>= 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (1cdot(16 — 3x) — 1cdot(5x — 24) = 0) , что равносильно (-8x = -40) , тогда (x = 5) – подходит по ОДЗ.

Найдите корень уравнения (dfrac<7 + 24x><5 + frac<4><3>x> = 3) .

ОДЗ: (x
eq -dfrac<15><4>) . Решим на ОДЗ:

Перенесём всё влево и приведём к общему знаменателю: [dfrac<7 + 24x — 15 — 4x><5 + frac<4><3>x> = 0qquadLeftrightarrowqquaddfrac<20x — 8><5 + frac<4><3>x> = 0.] Дробь равна нулю в том и только том случае, когда её числитель равен нулю, а знаменатель отличен от нуля, тогда (x = 0,4) – подходит по ОДЗ.

«Рациональные уравнения с многочленами» — одна из самых часто встречающихся тем в тестовых заданиях ЕГЭ по математике. По этой причине их повторению стоит уделить особое внимание. Многие ученики сталкиваются с проблемой нахождения дискриминанта, перенесения показателей из правой части в левую и приведения уравнения к общему знаменателю, из-за чего выполнение подобных заданий вызывает трудности. Решение рациональных уравнений при подготовке к ЕГЭ на нашем сайте поможет вам быстро справляться с задачами любой сложности и сдать тестирование на отлично.

Выбирайте образовательный портал «Школково» для успешной подготовки к единому экзамену по математике!

Чтобы знать правила вычисления неизвестных и легко получать правильные результаты, воспользуйтесь нашим онлайн-сервисом. Портал «Школково» — это единственная в своем роде площадка, где собраны необходимые для подготовки к ЕГЭ материалы. Наши преподаватели систематизировали и изложили в понятной форме все математические правила. Кроме того, мы предлагаем школьникам попробовать силы в решении типовых рациональных уравнений, база которых постоянно обновляется и дополняется.

Для более результативной подготовки к тестированию рекомендуем следовать нашему особому методу и начать с повторения правил и решения простых задач, постепенно переходя к более сложным. Таким образом, выпускник сможет выделить для себя самые трудные темы и сделать акцент на их изучении.

Начните подготовку к итоговому тестированию со «Школково» уже сегодня, и результат не заставит себя ждать! Выберите самый легкий пример из предложенных. Если вы быстро справились с выражением, переходите к более сложной задаче. Так вы сможете подтянуть свои знания вплоть до решения заданий ЕГЭ по математике профильного уровня.

Обучение доступно не только выпускникам из Москвы, но и школьникам из других городов. Уделяйте пару часов в день занятиям на нашем портале, например, решению кубических уравнений и совсем скоро вы сможете справиться с уравнениями любой сложности!

Рациональное уравнение – это уравнение вида $f(x)=g(x)$, где $f(x)$ и $g(x)$ — рациональные выражения.

Рациональные выражения — это целые и дробные выражения, соединённые между собой знаками арифметических действий: деления, умножения, сложения или вычитания, возведения в целую степень и знаками последовательности этих выражений.

$<2>/+5x=7$ – рациональное уравнение

$3x+√x=7$ — иррациональное уравнение (содержит корень)

Если хотя бы в одной части рационального уравнения содержится дробь, то уравнение называется дробно рациональным.

Чтобы решить дробно рациональное уравнение, необходимо:

Найти значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ);
Найти общий знаменатель дробей, входящих в уравнение;
Умножить обе части уравнения на общий знаменатель;
Решить получившееся целое уравнение;
Исключить из его корней те, которые обращают в ноль общий знаменатель.

Решить уравнение: $4x+1-<3>/=0$

1. находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

2. находим общий знаменатель дробей и умножаем на него обе части уравнения

3. решаем полученное уравнение

Решим вторым устным способом, т.к. $а+с=b$

4. исключаем те корни, при которых общий знаменатель равен нулю

В первом пункте получилось, что при $x = 0$ уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.

При решении уравнения с двумя дробями, можно использовать основное свойство пропорции.

Находим значения переменной, при которых уравнение не имеет смысл (ОДЗ)

Воспользуемся основным свойством пропорции

Раскроем скобки и соберем все слагаемые в левой стороне

Решим данное квадратное уравнение первым устным способом, т.к. $a+b+c=0$

В первом пункте получилось, что при x = 0 уравнение не имеет смысл, среди корней уравнения нуля нет, значит, оба корня нам подходят.