Радиус сходимости равен 0

Круг сходимости степенного ряда ∑ n = 0 ∞ a n ( z − z 0 ) n <displaystyle sum _^<infty >a_(z-z_<0>)^> — это круг вида

в котором ряд абсолютно сходится, а вне его, при R>"> | z − z 0 | > R <displaystyle |z-z_<0>|>R> R"> , расходится. Иными словами, круг сходимости степенного ряда есть внутренность множества точек сходимости ряда. Круг сходимости может вырождаться в пустое множество, когда R = 0 <displaystyle R=0> , и может совпадать со всей плоскостью переменного z <displaystyle z> , когда R = ∞ <displaystyle R=infty > .

Радиус круга сходимости называется радиусом сходимости ряда.

Радиус сходимости ряда Тейлора аналитической функции равен расстоянию от центра ряда до множества особых точек функции, и может быть вычислен по формуле Коши — Адамара:

Эта формула выводится на основе признака Коши.

Для степенного ряда

у которого почти все коэффициенты равны нулю, в том смысле, что последовательность ненулевых коэффициентов a k ( i ) <displaystyle a_> удовлетворяет

На странице Сумма ряда онлайн есть возможность получить подробное решение для вычисления радиуса сходимости степенного ряда.

Естественно, чтобы получить решение, то надо ввести степенной ряд.

Рассмотрим пример ряда:

Результат для радиуса ряда:

Опубликовано: Январь 5, 2017

Тэги: ряд

Под областью сходимости степенных рядов понимается множество значений $ x $, при которых ряд сходится.

Для того, чтобы найти область сходимости степенного ряда $ sum_^ infty a_n (x-a)^n $ достаточно воспользоваться формулой Даламбера: $$ L = limlimits_ igg |frac> igg | $$

$ L = 0 $, то область сходимости $ x in (-infty; +infty) $
$ L = infty $, то область сходимости состоит из $ x = 0 $
В остальных случаях составляем неравенство $ L подробное написание

Итак, интервал найден. Теперь необходимо найти область сходимости степенного ряда. А для этого исследуем поведение ряда на концах полученного интервала:

1) Возьмём левую границу $ x = -1 $

Подставляя $ x = -1 $ в исходный ряд, получаем ряд: $ sum_^infty frac<(-1)^n> $

Так как ряд знакочередующийся из-за $ (-1)^n $, то исследуем сходимость по признаку Лейбница:

1) Ряд знакочередующийся

Выполнены оба условия, значит ряд сходится и точку $ x=-1 $ можно включить в область сходимости.

2) Возьмём правую границу $ x = 1 $

Подставим $ x = 1 $ в исходный ряд и получим: $ sum_^infty frac<1> $

Текущий ряд попадает под общий гармонический ряд, в котором $ p = 2 $. А так как $ p>1 $, то ряд сходится. Значит, можно точку $ x = 1 $ записать в область сходимости.

Итого, подведем итог: область сходимости степенного ряда $ sum_^infty frac $ записывается в виде: $ -1 leqslant x leqslant 1 $

Найдем радиус сходимости $ R = frac <2>= frac<1+1> <2>= 1 $

Если не получается решить свою задачу, то присылайте её к нам. Мы предоставим подробное решение. Вы сможете ознакомиться с ходом вычисления и почерпнуть информацию. Это поможет своевременно получить зачёт у преподавателя!