Пример 1. Требуется получить все возможные разложения в ряд Лорана по степеням z – 2 функции 
.
Здесь z = 2; функция теряет аналитичность в точках
z1 = 0, z2 = -4. Легко видеть, что существует три области аналитичности с центром в z (один круг и два кольца), на границах которых функция теряет аналитичность:
1. | z – 2| 6. В каждой из этих областей разложение будет таким:
1. В первой области (круге) функция аналитична, поэтому ряд Лорана будет совпадать с рядом Тейлора. 
— таково разложение f(z) на простые дроби, разлагаем в ряд Тейлора каждую их них. 
, где | z – 2| 4. 
. Первый множитель уже представлен в виде суммы по степеням | z + 2|, работаем со вторым. Третью степень в знаменателе получим, дважды дифференцируя разложение функции 
.
1. В первом кольце 0 4 получаем 
,
,
,
.
Загрузка...
