Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №8
к главе «§ 20. Многогранники».
Пусть K, M и N данные точки.
Возможны три случая:
1) Точки K, M, N расположены так, что MN || DC и KM || MN. Тогда плоскость, проходящая через точки K, M и N параллельна плоскости грани ABCD, т.к. две пересекающие прямые KM и MN параллельны грани ABCD. Проведем прямую ON || AD. Тогда она будет принадлежать плоскости сечения. Так как иначе она пересекала бы и грань ABCD, то есть и AD, что неверно.
Тогда четырехугольник KMNO искомое сечение.
2) Точки K, M, N располагаются так, что КМ || ВС, но MN не параллельно DC. Тогда через точки M и N проведем прямую а, которая пересекает прямую DC в некоторой точке S.
Тогда S принадлежит сечению. Через точку S проведем прямую b || KM. Тогда b принадлежит сечению и b || BC, т.к. b || KM и КМ || ВС. Тогда АВ пересекает прямую b в некоторой точке X. Тогда Х принадлежит сечению.
А также можно соединить точи К и Х отрезком, который пересечет А1А в некоторой точке О. Тогда точка О тоже принадлежит сечению. А значит, четырехугольник OKMN это искомое сечение.
3) Когда точки К, M, N располагаются так, что MN не параллельно DC и KМ не параллельно MN. Тогда прямая MN пересечет прямую DC в некоторой точке F, прямая МК пересечет прямую ВС в некоторой точке X. Точки X и F принадлежат плоскости ABCD, а также искомому сечению, значит, плоскость ABCD и сечение пересекаются по прямой XF. Тогда прямая АВ, или прямая AD, или обе эти прямых пересекают прямую XF. Допустим АВ пересекает XF в точке S. Тогда точка S принадлежит и плоскости АА1В1В, а также сечению. Проведем прямую SK. Она пересечет ребро АА1 в точке О. Так что MNOK искомое сечение.
Решебник по геометрии за 11 класс (А.В. Погорелов, 2001 год),
задача №7
к главе «§ 20. Многогранники».
Пусть, например, плоскость проходит через сторону основания AD и вершину С1, тогда отрезок C1D принадлежит сечению. Далее, возможны два случая: либо AD пересекает ВС, либо нет. Если AD пересекает ВС, то точку их пересечения обозначим F. F ∈ ВС, а значит F ∈ (BCC1). Проведем отрезок FC1. Он пересечет BB1 в точке К. Тогда четырехугольник AKC1D будет искомым сечением.
Если AD не пересекает ВС, то AD || ВС. Но ВС || В1С1, так что AD || B1C1, а через две параллельные прямые проходит единственная плоскость, содержащая их. Эта плоскость является искомым сечением т.к. точки A, D, C1 принадлежат этой плоскости.
Что ты хочешь узнать?
Ответ
Проверено экспертом
Найдём пересечение этих прямых: AK ∩ A₁D₁ = K₁
Найдём пересечение этих прямых: BK ∩ B₁D₁ = K₂
K₁ ∈ AK ⊂ (ABK); K₂ ∈ BK ⊂ (ABK) ⇒ K₁K₂ ⊂ (ABK).
K₁ ∈ A₁D₁ ⊂ (B₁C₁D₁); K₂ ∈ B₁D₁ ⊂ (B₁C₁D₁) ⇒ K₁K₂ ⊂ (B₁C₁D₁);
Найдём пересечение этих прямых: K₁K₂ ∩ B₁C₁ = M₁
M₁ ∈ B₁C₁ ⊂ (BCC₁); B ∈ (BCC₁) проведём прямую через две точки, лежащие в одной плоскости с ребром CC₁
Получаем, что BM₁ ∩ CC₁ = M.
M₁ ∈ K₁K₂ ⊂ (ABK); B ∈ (ABK) ⇒ BM₁ ⊂ (ABK); M ∈ M₁B ⊂ (ABK) ⇒ M ∈ (ABK).
ABMK — нужное, четырёхугольное, сечение.
Загрузка...
