Применение принципа даламбера к определению реакций связей

Бесплатный онлайн решебник Яблонского. Выберите задание и номер варианта для просмотра решения.

Задание Д.14. Применение принципа возможных перемещений к решению задач о равновесии сил, приложенных к механической системе с одной степенью свободы

Схемы механизмов, находящихся под действием взаимно уравновешивающихся сил, показаны на рис. 171–173, а необходимые данные приведены в табл. 50.

Применяя принцип возможных перемещений и пренебрегая силами сопротивления, определить величину, указанную в предпоследней графе табл. 50.

Примечание. Механизмы в вариантах 3, 6, 10, 14, 16, 18, 19, 25 и 30 расположены в вертикальной плоскости, а остальные – в горизонтальной.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание Д.15. Применение принципа возможных перемещений к определению реакций опор составной конструкции

Применяя принцип возможных перемещений, определить реакции опор составной конструкции.

Схемы конструкций показаны на рис. 176–178, а необходимые для решения данные приведены в табл. 51. На рисунках все размеры указаны в метрах.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание Д.16. Применение принципа Даламбера к определению реакций связей

Определить реакции внешних связей механической системы:

а) в произвольный момент времени – для вариантов 4, 5, 10, 12–18, 21–30 (рис. 185–187);

б) в момент времени t=t₁ – для вариантов 1, 8, 9, 11, 20;

в) в тот момент времени, когда угол поворота φ=φ₁, – для вариантов 2, 3, 6, 7;

г) в положении, показанном на чертеже для вариантов 15 и 19.

На схемах (рис. 185–187) плоскость xOy (xAy) горизонтальна, плоскость yOz (yAz) вертикальна. Необходимые для решения данные приведены в табл. 52, в которой ω – угловая скорость, φ и ω – значения угла поворота и угловой скорости в начальный момент времени.

Примечания: 1. Вращающиеся тела, для которых не указан радиус инерции, рассматривать как тонкие однородные стержни (варианты 1–5, 11–15, 18, 19, 23, 24, 29, 30) или сплошные однородные диски (варианты 6–9, 16, 20, 22, 28); в варианте 10 тело 2 рассматривать как материальную точку.

2. На схемах 1, 8, 9, 11, 16, 17, 20–22 указаны внешние моменты M.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание Д.17. Определение реакций опор при вращении твердого тела вокруг неподвижной оси

Однородное тело Q массой m вращается вокруг неподвижной вертикальной оси z под действием пары сил с моментом M, расположенной в горизонтальной плоскости. Определить реакции подпятника A и подшипника B в момент времени t=t₁, считая, что в этот момент плоскость материальной симметрии тела совпадает с плоскостью yAz. Начальная угловая скорость ω=0. Массой стержней, связанных с телом Q, пренебречь.

Варианты задания показаны на рис. 189–191, необходимые данные – в табл. 53.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 10 11 12 14 15 16 17 18 20 21 22 28 29 (решено 70%)

Задание Д.19. Применение общего уравнения динамики к исследованию движения механической системы с одной степенью свободы

Для заданной механической системы определить ускорения грузов и натяжения в ветвях нитей, к которым прикреплены грузы. Массами нитей пренебречь. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Система движется из состояния покоя.

Варианты механических систем показаны на рис. 198–200, а необходимые для решения данные приведены в табл. 55.

Блоки и катки, для которых радиусы инерции в таблице не указаны, считать сплошными однородными цилиндрами.

Примечания: 1. Радиусы инерции даны относительно центральных осей, перпендикулярных плоскости чертежа (рис. 198–200).

2. Коэффициент трения принимать одинаковым как при скольжении тела по плоскости, так и при торможении колодкой (варианты 9–12).

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание Д.20. Применение уравнений Лагранжа II рода к определению сил и моментов, обеспечивающих программное движение манипулятора

Манипулятор (рис. 205–207), состоящий из звеньев 1, 2 и захвата D, приводится в движение приводами A и B. Захват D перемещается вдоль прямой ON. Со стороны привода A к звену 1 прикладывается либо управляющий момент M_A (варианты 2, 4, 7, 8, 12, 22, 24–26, 29), либо управляющее усилие P_A (варианты 1, 3, 5, 6, 9–11, 13–21, 23, 27, 28, 30). Привод B воздействует на звено 2 либо моментом M_B (варианты 1–3, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27), либо управляющим усилием P_B (варианты 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30).

Перемещение звена 1 (варианты 3, 4, 7, 12, 22, 24–26, 28–30) или звена 2 (варианты 1, 2, 5, 6, 8–11, 13–21, 23, 27) манипулятора ограничено препятствиями K и L, поэтому изменение угла поворота φ=φ(t) этого звена возможно лишь в интервале [φ(0),φ(τ)], где τ – время движения звена.

Технические условия работы манипулятора требуют, чтобы указанное звено сошло со связи K при t=0 и «мягко» коснулось препятствия L при t=τ, т.е. так, чтобы были удовлетворены условия
[dφ(t)/dt]|_t=0,t=τ = 0; [d 2 φ(t)/dt 2 ]|_t=0,t=τ = 0.
Программные движения звена 1, удовлетворяющие требованиям «мягкого» касания, приняты в таком виде:

1) φ(t)=φ(0)+[φ(τ)-φ(0)](10-15t/τ+6t 2 /τ 2 )t 3 /τ 3 (варианты 2, 4, 6, 7, 11, 12, 16, 19, 22, 24–26, 28–30);

2) φ(t)=φ(0)+[φ(τ)-φ(0)][t/τ-(1/(2π))sin(2πt/τ)] (варианты 1, 3, 5, 8–10, 13–15, 17, 18, 20, 21, 23, 27).

Значения φ(0) и φ(τ) заданы в табл. 56, а график φ=φ(t) показан на рис. 208. Силами сопротивления движению пренебречь. Механизм расположен в горизонтальной плоскости. Движением захвата относительно звена 1 пренебречь.

В задании приняты следующие обозначения:
m₁ – масса первого звена, захвата и переносимого в захвате объекта;
m₂ – масса второго звена;
J₁ – момент инерции звена 1, захвата и переносимого в захвате объекта относительно главной центральной оси инерции;
J₂ – момент инерции звена 2.

Центр тяжести звена 1 находится в точке C (варианты 1–4, 6–8, 11–13, 16, 18–20, 22–30) или в точке A (варианты 5, 9, 10, 14, 15, 17, 21).

1. Вычислить значения управляющих сил и моментов в начале торможения звена 1. Считать, что торможение звена 1 начинается в тот момент, когда угловое ускорение звена обращается в ноль.

2. Построить графики зависимости управляющих моментов и сил от времени.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 25 26 30 (решено 87%)

Задание Д.21. Применение уравнений Лагранжа II рода к исследованию движения механической системы с двумя степенями свободы

Механическая система тел 1–6 (рис. 212–214) движется под воздействием постоянных сил P и пар сил с моментами M или только сил тяжести.

Найти уравнения движения системы в обобщенных координатах q₁ и q₂ при заданных начальных условиях. Необходимые данные приведены в табл. 57; там же указаны рекомендуемые обобщенные координаты (x и φ – обобщенные координаты для абсолютного движения, а ξ – для относительного движения).

При решении задачи массами нитей пренебречь. Считать, что качение колес происходит без проскальзывания. Трение качения и силы сопротивления в подшипниках не учитывать. Колеса, для которых в таблице радиусы инерции не указаны, считать сплошными однородными дисками. Водила (кривошипы) рассматривать как тонкие однородные стержни. Принять, что в вариантах 6, 9, 11, 20, 22 и 30 механизм расположен в горизонтальной плоскости.

Варианты с решением: 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 (решено 100%)

Задание Д.22. Определение положений равновесия (покоя) консервативной механической системы с одной степенью свободы и исследование их устойчивости

Для консервативной механической системы с одной степенью свободы требуется:

1. Определить положения равновесия, пренебрегая массами упругих элементов.

2. Провести исследование устойчивости найденных положений равновесия.

Варианты механических систем показаны на рис. 219–221, а необходимые соотношения приведены в табл. 58.

В качестве обобщенной координаты выбрать угол φ. На рис. 219–221 показаны механические системы при некотором положительном угле φ. Во всех вариантах качение колес происходит без проскальзывания и трение в сочленениях отсутствует. При решении задачи считать все стержни и диски однородными.

Яблонский задание Д.16. Применение принципа Даламбера к определению реакций связей.
Определить реакции внешних связей механической системы:
а) в произвольный момент времени-для вариантов 4, 5, 10, 12-18, 21-30 (рис. 185-187);
б) в момент времени t=t₁-для вариантов 1, 8, 9, 11, 20;
в) в тот момент времени, когда угол поворота φ=φ₁,-для вариантов 2, 3, 6, 7;
г) в положении, показанном на чертеже для вариантов 15 и 19.
На схемах (рис. 185-187) плоскость xOy (xAy) горизонтальна, плоскость yOz (yAz) вертикальна. Необходимые для решения данные приведены в таблице 52, в которой ω-угловая скорость, φ и ω-значения угла поворота и угловой скорости в начальный момент времени.
Примечания:
1. Вращающиеся тела, для которых не указан радиус инерции, рассматривать как тонкие однородные стержни (варианты 1-5, 11-15, 18, 19, 23, 24, 29, 30) или сплошные однородные диски (варианты 6-9, 16, 20, 22, 28); в варианте 10 тело 2 рассматривать как материальную точку.
2. На схемах 1, 8, 9, 11, 16, 17, 20-22 указаны внешние моменты M.

Принцип Даламбера является в теоретической механике одним из главных принципов динамики. Согласно этому принципу, при условии присоединения силы инерции к активно действующим на точки механической системы силам и реакциям наложенных связей, получается уравновешенная система.

Данный принцип получил название в честь французского ученого Ж. Даламбера, впервые предложившего его формулировку в своем сочинении «Динамика».

Определение принципа Даламбера

Принцип Даламбера звучит следующим образом: если к воздействующей на тело активной силе прикладывается дополнительная сила инерции, тело будет пребывать в равновесном состоянии. При этом суммарное значение всех действующих в системе сил, дополненное вектором инерции, получит нулевое значение.

Согласно указанному принципу, в отношении каждой i-той точки системы, становится верным равенство:

• $F_i$ -активно воздействующая на эту точку сила,
• $N_i$ — реакция связи, наложенной на точку;
• $J_i$ — сила инерции, определяемая формулой $J_i=-m_ia_i$ (она направлена противоположно этому ускорению).

Попробуй обратиться за помощью к преподавателям

Фактически, отдельно для каждой рассматриваемой материальной точки $ma$ переносится справа налево (второй закон Ньютона):

$ma$ при этом называется силой инерции Даламбера.

Такое понятие, как сила инерции, было введено еще Ньютоном. Согласно рассуждениям ученого, при условии движения точки под воздействием силы $F=ma$, тело (или система) – становится источником этой силы. При этом, согласно закону о равенстве действия и противодействия, ускоряемая точка будет влиять на ускоряющее ее тело с силой $Ф=-ma$. Такой силе Ньютон дал название системы инерции точки.

Силы $F$ и $Ф$ будут равными и противоположными, но приложенными к разным телам, что исключает их сложение. Непосредственно на точку сила инерции воздействия не оказывает, поскольку для нее она представляет фиктивную силу. При этом точка оставалась бы в состоянии покоя, если бы, помимо силы $F$, на точку оказывала воздействие еще и сила $Ф$.

Принцип Даламбера позволяет применять при решении задач динамики более упрощенные методы статики, что объясняет его широкое применение в инженерной практике. На этом принципе основывается метод кинетостатики. Особенно он удобен в применении с целью установления реакций связей в ситуации, когда известен закон происходящего движения или он получен при решении соответствующих уравнений.

Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!

Разновидностью принципа Даламбера выступает принцип Германа-Эйлера, фактически представлявшего собой форму данного принципа, но обнаруженную до появления публикации сочинения ученого в 1743 году. При этом принцип Эйлера не рассматривался его автором (в отличие от принципа Даламбера) в качестве основы для общего метода решения задач движения механических систем со связями. Принцип Даламбера считается более целесообразным в применении в случае необходимости определения неизвестных сил (для решения первой задачи динамики).

Принцип Даламбера для материальной точки

Многообразие типов решаемых в механике задач нуждается в разработке эффективных методик составления уравнений движения для механических систем. Одним из подобных методов, позволяющих посредством уравнений описать движение произвольных систем, считается в теоретической механике принцип Даламбера.

Опираясь на второй закон динамики, для несвободной материальной точки запишем формулу:

где $R$ представляет реакцию связи.

Эта формула является выражением принципа Даламбера для материальной точки, согласно которому, для движущейся в любой момент времени точки геометрическая сумма воздействующих на нее активных сил и силы инерции получает нулевое значение. Этот принцип позволяет записывать уравнения статики для движущейся точки.

Принцип Даламбера для механической системы

Для состоящей из $n$-точек механической системы, можно записать $n$-уравнений вида:

При суммировании всех этих уравнений и введении следующих обозначений:

которые являются главными векторами внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно, получаем:

Условием для равновесного состояния твердого тела является нулевое значение главных вектора и момента действующих сил. Учитывая это положение и теорему Вариньона о моменте равнодействующей в результате запишем такое соотношение:

примем следующие обозначения:

главные моменты внешних сил, реакции связей и сил инерции соответственно.

В итоге получаем:

Эти две формулы являются выражением принципа Даламбера для механической системы. В любой момент времени для движущейся механической системы геометрическая сумма главного вектора реакций связей, внешних сил, и сил инерции получает нулевое значение. Также нулевой будет и геометрическая сумма главных моментов от сил инерции, внешних сил и реакций связей.

Полученные формулы являются дифференциальными уравнениями второго порядка из-за присутствия в каждом из них ускорения в силах инерции (второй производной закона движения точки).

Принцип Даламбера позволяет решать методами статики задачи динамики. Для механической системы можно записывать уравнения движения в виде уравнений равновесия. Из таких уравнений можно определить неизвестные силы, в частности, реакции связей (первая задача динамики).

Так и не нашли ответ
на свой вопрос?

Просто напиши с чем тебе
нужна помощь