Построить векторы в аффинном базисе

О п р е д е л е н и е. Аффинной системой координат в пространстве (аффинным репером) называется точка и три некомпланарных вектора: .

Прямые , , , определяемые точкой и векторами называются соответственно осью абсцисс, осью ординат и осью аппликат.

Частным случаем аффинной системы координат является прямоугольная система координат , определяемая точкой и ортогональными ортами .

О п р е д е л е н и е. Вектор называется радиус-вектором точки .

О п р е д е л е н и е. Координатами точки называются координаты её радиус-вектора:

.

У п р а ж н е н и е. Построить точку по координатам в заданном аффинном репере в пространстве.

Аналогично тому, как это делалось на плоскости, с помощью координат решаются простейшие задачи

1. Определение координат вектора по координатам начала и конца в аффинной системе координат.
2. Определение координат точки по заданному простому отношению трех точек прямой и координатам двух из них в аффинной системе координат.
3. Вычисление расстояния между точками по координатам относительно прямоугольной системы координат .

Задавая в пространстве аффинную систему координат, мы устанавливаем взаимно однозначное соответствие между точками и упорядоченными тройками действительных чисел. Это позволяет находить условие, определяющее геометрическую фигуру.

Под условием, определяющим геометрическую фигуру, понимаем упорядоченные тройки действительных чисел, уравнения, неравенства или их системы, которым удовлетворяют координаты любой точки, принадлежащей фигуре, и не удовлетворяют координаты точек, не принадлежащих фигуре.

Тогда геометрическую задачу можно перевести на язык алгебры, решить методами алгебры и полученный результат интерпретировать геометрически.

Уравнение плоскости

Через данную точку проходит единственная плоскость , параллельная двум данным неколлинеарным векторам и .

Пусть в пространстве задан аффинный репер и , . Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы компланарны, то есть вектор можно выразить через векторы и :

.

Переходя к координатам, найдем уравнения, которым должны удовлетворять координаты точки, принадлежащей плоскости:

– параметрические уравнения плоскости.

Условием компланарности векторов является равенство нулю определителя, составленного из координат этих векторов:

– общее уравнение плоскости.

Общее уравнение плоскости приводится к виду

, где .

Пусть плоскость пересекает все три оси координат в точках . Имеем два неколлинеарных вектора и , параллельных плоскости . Тогда получаем уравнение плоскости

или – уравнение плоскости в отрезках.

Через данную точку проходит единственная плоскость , перпендикулярная данному ненулевому вектору . Вектор , как и любой другой ненулевой вектор, перпендикулярный плоскости , называется нормальным вектором плоскости.

Точка принадлежит плоскости тогда и только тогда, когда векторы и ортогональны, то есть их скалярное произведение равно нулю. Чтобы выразить условие ортогональности векторов через координаты, необходим ортонормированный базис, а значит, в пространстве должна быть задана прямоугольная система координат . Пусть , . Выразив условие ортогональности векторов и через координаты, получим уравнение плоскости : .

1. Чтобы составить уравнение плоскости, надо знать точку и два неколлинеарных вектора, параллельных этой плоскости, либо точку и нормальный вектор.

2. Уравнение плоскости приводится к виду

, где ,

то есть плоскость является алгебраической поверхностью первого порядка.

Т е о р е м а. Любая алгебраическая поверхность первого порядка является плоскостью.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для алгебраической поверхности первого порядка существует аффинная система координат, относительно которой поверхность задается уравнением , где .

Пусть . Приведя уравнение поверхности к виду , получим равносильное уравнение

.

Это есть уравнение плоскости, проходящей через точку параллельно векторам и .

Не нашли то, что искали? Воспользуйтесь поиском:

Этот онлайн калькулятор позволит вам очень просто разложить вектор по базисным векторам.

Воспользовавшись онлайн калькулятором, вы получите детальное решение вашей задачи, которое позволит понять алгоритм решения задач и закрепить пройденый материал.

Калькулятор для разложения вектора по базисным векторам

Выберите размерность пространства

Количество координат в векторе:

Введите значение базисных векторов:

Введите значение вектора, который необходимо разложить по базису:

Инструкция использования калькулятора для разложение вектора по базисным векторам

• Для того чтобы разложить вектор по базисным векторам онлайн:
• выберите необходимую вам размерность пространства (количество координат в векторе);
• введите значения базисных векторов;
• введите значения вектора который нужно разложить по базису;
• Нажмите кнопку "Разложить вектор по базису" и вы получите детальное решение задачи.

Ввод данных в калькулятор для разложение вектора по базисным векторам

В онлайн калькулятор вводить можно числа или дроби. Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Дополнительные возможности калькулятора разложение вектора по базисным векторам

• Между полями для ввода можно перемещаться нажимая клавиши "влево" и "вправо" на клавиатуре.

Теория. Разложение вектора по базису

Чтобы разложить, вектор b по базисным векторам a₁ , . a_n , необходимо найти коэффициенты x ₁, . x_n , при которых линейная комбинация векторов a₁ , . a_n равна вектору b .

Коэффициенты x ₁, . x_n будут координатами вектора b в базисе a₁ , . a_n .

Вводить можно числа или дроби (-2.4, 5/7, . ). Более подробно читайте в правилах ввода чисел.

Любые нецензурные комментарии будут удалены, а их авторы занесены в черный список!

Добро пожаловать на OnlineMSchool.
Меня зовут Довжик Михаил Викторович. Я владелец и автор этого сайта, мною написан весь теоретический материал, а также разработаны онлайн упражнения и калькуляторы, которыми Вы можете воспользоваться для изучения математики.

Аффинная система координат на прямой, на плоскости, в пространстве

Пусть в пространстве фиксирована точка . Совокупность точки и базиса называется аффинной (декартовой) системой координат :

– аффинная система координат на прямой (рис.2.1,а) — это точка и ненулевой вектор на прямой (базис на прямой);

– аффинная система координат на плоскости (рис.2.1,6) — это точка и два неколпинеарных вектора , взятые в определенном порядке (базис на плоскости);

– аффинная система координат в пространстве (рис.2.1,в) — это точка и три некомпланарных вектора , взятые в определенном порядке (базис в пространстве).

Точка называется началом координат . Прямые, проходящие через начало координат в направлении базисных векторов, называются координатными осями: — ось абсцисс, — ось ординат, — ось аппликат . Плоскости, проходящие через две координатные оси, называются координатными плоскостями .

Аффинная система координат в пространстве (или на плоскости) называется правой, если ее базис является правым, и левой, если её базис — левый.

Координаты векторов и точек в аффинной системе координат

Координатами вектора в заданной системе координат называются, как и ранее, коэффициенты в разложении вектора по базису (см. разд.1.3.1; 1.3.2; 1.3.3).

Для любой точки в заданной аффинной системе координат можно рассмотреть вектор начало которого совпадает с началом координат, а конец — с точкой (рис.2.1,а,б,в). Этот вектор называется радиус-вектором точки .

Координатами точки в заданной системе координат называются координаты радиус-вектора этой точки относительно заданного базиса. В пространстве это координаты вектора в базисе , т.е. коэффициенты в разложении (рис.2.1,в). Координаты точки записывают в виде . Первая координата называется абсциссой , вторая – ординатой , третья – аппликатой . На плоскости и на прямой координаты записывают в виде и согласно разложениям (рис.2.1,6), (рис.2.1,а). Координаты точки , или, что то же самое, координаты ее радиус-вектора представляют в виде координатного столбца (матрицы-столбца):

Найдем координаты вектора с началом в точке и концом в точке . Рассмотрим треугольник (рис.2.2). Радиус-векторы и представляются в виде , . По правилу треугольника (см. разд. 1.1.2) вычитания векторов получаем , т.е. вектор имеет координаты . Этим доказано следующее правило: чтобы найти координаты вектора,нужно из координат его конца вычесть соответствующие координаты его начала . Это же правило справедливо для аффинных систем координат на плоскости и на прямой.

1. В заданной системе координат каждой точке можно поставить в соответствие её координаты, причем это соответствие взаимно однозначное:

В частности, разным точкам соответствуют разные наборы координат.

2. Если вектор с координатами отложить от точки , то конец вектора будет иметь координаты .

3. Координаты точки , которая делит отрезок в отношении , находятся по координатам его концов и :

В частности, координаты середины отрезка равны среднему арифметическому соответствующих координат концов отрезка :

Координаты точки которая "делит" площадь треугольника в отношении 0,,eta>0,,gamma>0" png;base64,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" style="vertical-align: middle;" />, находятся по координатам его вершин :

В частности, координаты точки пересечения медиан треугольника равны среднему арифметическому соответствующих координат вершин треугольника :

Эти формулы следуют из свойств 2,4 аффинных и выпуклых комбинаций (см. разд. 1.6.1). Они остаются справедливыми и на координатной плоскости, если аппликаты всех точек положить равными нулю. Например, координаты середины отрезка , или координаты точки пересечения медиан треугольника

Пример 2.1. В некоторой аффинной системе координат известны координаты вершин треугольной пирамиды (см. рис.2.3): Найти координаты (в той же системе координат):

а) точки пересечения медиан треугольника ;

б) точки , которая делит отрезок в отношении .

Решение. Учитывая пункт 3 замечаний 2.1, получаем: