Итак, в пределе неопределенность ноль делить на ноль. Выполним замены на эквивалентные функции.
$$ arcsin 3x sim 3x $$ $$1-cos 2x sim 2x^2 $$
Подставляем в предел и получаем готовый ответ.
Пределы тригонометрических функций чаще всего находятся с помощью 1-го замечательного предела и следствий из него. Проиллюстрируем решение пределов тригонометрических функций на конкретных примерах. Сам 1й замечательный предел
и одно из его следствий (есть и другие, но о них — позже):
(Здесь угол x выражен в радианах). Итак, примеры на пределы тригонометрических функций, которые решаются через 1й замечательный предел.
чтобы раскрыть неопределенность вида ноль на ноль, используем 1й замечательный предел:
Сокращаем числитель и знаменатель на x:
Так как по 1-му замечательному пределу
окончательно получаем, что
Решение пределов тригонометрических функций зачастую требует привлечения тригонометрических формул. Например, из тригонометрической единицы следует, что
В следующем пункте пределы тригонометрических функций будем находить с помощью следствий из 1-го замечательного предела.
Определение пределов относится в вводному курсу математического анализа. Будем считать, что основные определения о числовых последовательностях, функциях и пределах читателю известны.
Многие задачи в математическом анализе требуют умения решать пределы с тригонометрией.
Обычно под пониманием решения предела с тригонометрией понимается решение первого замечательного предела ($x o 0$). В подробностях теоретической части о замечательных пределах разбираться здесь не будем. Условимся, что нам уже известно и графическое представление, и определение первого замечательного предела, и теоремы о пределах. Основная задача данной статьи — продемонстрировать примеры решений пределов с тригонометрией. Поэтому перейдём сразу к ним.
Примеры с первым замечательным пределом
Рисунок 1. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Имеем неопределённость вида $[frac<0><0>]$. Займёмся преобразованием дроби и воспользуемся теоремами о пределе произведения и первом замечательном пределе.
Рисунок 2. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Попробуй обратиться за помощью к преподавателям
Рисунок 3. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Чтобы вычислить этот предел воспользуемся первым замечательным пределом, а также непрерывностью функции косинуса $x$ и теоремой о пределе произведения:
Рисунок 4. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Рисунок 5. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Воспользуемся определением функции тангенс $x$, непрерывностью функции косинус $x$ и первым замечательным пределом:
Рисунок 6. Пример. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Пример с таблицей сравнения бесконечно малых функций
Следующий пример будет основан на свойствах эквивалентных бесконечно малых функций. Для решения напомним таблицу сравнения бесконечно малых функций:
Рисунок 7. Таблица сравнения бесконечно малых функций. Автор24 — интернет-биржа студенческих работ
Задай вопрос специалистам и получи
ответ уже через 15 минут!